L'Infini

Mathématiciens à la recherche de l'infini

L'idée d'infini soulève beaucoup d'interrogations dans de nombreux domaines, en particulier en mathématiques.
Un objet infinbi peut-il exister, y-a-t-il plusieurs sorte d'infinis, peut-on calculer avec l'infini ?
Il est courant d'être en désaccord sur des questions politiques, religieuses, philosophiques, en mathématiques, il en est de même.
Les recherches sur le concept d'infini ont conduit les mathématiciens à confronter leurs idées, à les préciser, à remettre en cause des axiomes couramment utilisés...
De nouvelles théories sont nées et la quête continue... Voici quelques épisodes de cette aventure :

symbole de l'infini

1 L'infini chez les grecs

1-1 Ecole de Pythagore

Sa devise : "toutes choses sont des nombres."
Les Pythagoriciens considèrent les nombres entiers comme éléments constitutifs de la matière. Les nombres forment une collection discrète d'unités.

1-2 Ecole d'Elée

Cette école a été fondée par Parménide.
Les Eléates s'opposent aux théories pythagoriciennes : si les objets discrets peuvent être représentés par des nombres entiers, il n'en est pas de même des grandeurs continues comme les longueurs, les aires, les volumes ; sauf si l'on conçoit une infinité d'éléments très petits qui les composeraient.
Pour montrer l'incapacité des théories pythagoriciennes à décrire la réalité, Zénon d'Elée formule quatre paradoxes ( apories : impasses ). Il montre que dans les deux hypothèses, continuistes ( le temps et la matière sont divisibles à l'infini ) et l'atomiste ( existence d'éléments premiers indivisibles ) , on aboutit à une impasse. Voici trois de ces quatres paradoxes :

1. Le mobile transporté doit parvenir d'abord à la moitié avant d'accéder au terme ; ou pour franchir une certaine distance, il faut d'abord en franchir la moitié puis la moitié du reste etc...
Le mouvement est donc impossible

2. "Achille et la tortue."
Le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide ; car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance.

3. "Paradoxe de la flèche."
A un instant de son vol, une flèche occupe un point de l'espace et y est au repos. Cela etant vrai à chaque instant de son vol, la flèche ne peut pas être en mouvement.

1-3 L'Académie platonicienne

Platon distingue le mode des Idées et le monde réel. Tout recours à l'expérience est prohibé. La recherche de la Vérite Immuable conduit à un usage excusif de raisonnement déductif.

1-4 Aristote

Aristote, élève de Platon, fonde à Athènes une école ( dans le gymnase attenant au Lycée, temple d'Apollon Lykeios ). Aristote comme Platon, s'intéresse à la nature des mathématiques et à leur lien avec le monde réel. Il est néammoins plus matérialiste que Platon. Pour Aristote, les mathématiques etudient les essences universelles : le nombre et la forme géométrique, abstractions déduites des propriétés des corps physiques. L'existence d'un objet mathématique est établit si on arriveà le construire.
Il fonde la logique : définition, axiomes, hypothèses. "Savoir c'est connaître par le moyen de la démonstration " écrit Aristote.
Aristote expose une distinction fondamentale : celle de l'infini potenciel ou infini en puissance et l'infini actuel ou infini en acte.

L'infini potentiel :
Les entiers positifs sont infinis en puissance selon l'addition, puisqu'en ajoutant un à un entier, on obtient un nouvel entier et on peut itérer cette opération. Una grandeur géométrique ( ligne, surface ou solide ) est infinie en puissance selon la division. Le temps a la même propriété. Mais les points ou les instants ne constituent pas les éléments ultimes composants la ligne ou le temps. Le point est pensé indivisible, et donc un ensemble de points ne pourra jamais former une ligne continue et divisible.

L'infini actuel :
L'infini actuel serait un infini qui existerait effectivement.
Aristote défend la thèse selon laquelle aucun objet réel ne peut être effectivement infini. Sinon, en examinant les entiers, on pourrait dire qu'il y a autant d'entiers pairs que de nombres : à n on associe 2n. Or cela contredit un des axiomes fondateur de la géométrie grecque affirmant que le tout est plus grand que la partie. Paradoxal ! Aristote affirme que l'infini potentiel suffit au besoin des mathématiciens.
Réfutations des paradoxes de Zénon d'Elée par Aristote :

La notion de vitesse instantanée est ici en cause : c'est la limite du rapport Δx/Δt lorsque Δt tend vers zero. (Les anciens lui assignaient la valeur zero).

1-5 Archimède

En opposition à AristoteArchimède affirme que la quantité de tous les grains de sable sur la terre est inépuisable : l'infini actuel existe. Mais, dans ses démonstrations, il ne l'utilise pas.

Par exemple, pour comparer l'aire d'une surface A à l'aide d'une surface connue S, la méthode d'exhaustion consiste à  construire deux surfaces U et V encadrant à la fois la surface dont on cherche à déterminer l'aire A et la surface donnée S et telles que la différence U-V soit aussi petite que l'on voudra. On démontrera ensuite par l'absurde que A=S.

De même, il évite d'utiliser un polygone à une infinité de cotés, mais il augmente le nombre de cotés jusqu'à ce que la quantité résiduelle soit aussi petit que l'on voudra. Les aires approchées n'épuisent pas exhaustivement l'aire recherchée. L'infini est évoqué en ayant recours à des raisonnements impliquant un nombre fini d'étapes.

2 Vers l'analyse infinitésimale

2-1 Thabit Ibn Qurra

A Bagdad, ville qui, pendant près de huit siècles, a symbolisé le savoir et la promotion de la connaissance, les mathématiciens arabes utilisent la méthode d'exhaustion et développent des méthodes voisines. Thabit Ibn Qurra réfléchit sur l'infini et tente  de le manipuler comme un nombre : "il apparait aussi évident que l'infini peut être le tiers de l'infini, ou le quart ou le cinquième ou toute autre partie du nombre infini lui-même. Car les nombres qui ont un tiers sont infinis et ils constituent le tiers du nombre dans sa totalité."

Ce n'est que mille ans plus tard que des mathématiciens comme Georg Cantor établieront effectivement una arithmétique de l'infini.

Qurra

2-2 En Occident

Au Moyen-Age, en Occident, la question de l'infini est débattue sur un plan théologique : un seul être est infini : Dieu.

Descartes : "Dieu existe puisqu'en nous existe l'idée d'infini."

Le matérialiste Pierre Gassendi polémique par les propos suivants : "Celui qui dit une chose "infinie" donne à une chose qu'il ne comprend pas un nom qu'il n'entend pas non plus ."

Au début du 13ème siècle, Robert Grosseteste écrit : "Il y a des infinis plus grands que d'autres infinis et des infinis plus petits que d'autres."

L'infini n'est-il pas égal à la moitié de l'infini ? Ne l'est-il pas ? Attendons Cantor...

2-3 Bonaventura Cavaliéri

Pour Cavaliéri, une ligne est conçue comme un ensemble infini de points, une surface comme une infinité de lignes. Mais il bute sur la difficulté de sommer un nombre infini d'éléments ; pour calculer l'aire d'une surface il compare alors cette aire à l'aire d'une surface connue.

Cavalieri

2-4 Calcul infinitésimal

Fermat, Newton, Leibniz, Euler vont développer le calcul portant sur l'infiniment petit. Bien que le calcul infinitésimal permette de résoudre une grande quantité de problèmes (vitesse instantanée, tangente à une courbe, calculs d'aires de volumes, rectification d'une courbe), il est sujet aux critiques les plus virulentes de la part de Descarte, Berkeley : "Partant du principe que la somme de deux infiniement petits est encore un infiniement petit, on ajoute à lui-même un tel nombre δ on a 2δ, 3δ... survient le moment où la goutte fait déborder le vase ; si Nδ est le dernier des infiniement petits, le suivant (N+1)δ ne l'est plus! Ce qui est absurde puisqu'il est la somme de deux infiniement petits."

Paradoxe qui conduit les mathématiciens à chercher à définir ce que l'on entend par "infiniement petit" et "nombre".

limite

2-5 Limite

Grâce à la notion de limite, l'infini actuel est évité ; au lieu de dire qu'une grandeur est infiniement petite on dira qu'elle est la limite d'une suite de nombres de plus en plus petits ;  cette notion de limite fait partie des principaux piliers de l'analyse classique enseignée actuellement.

Un nombre réel devient la limite d'une suite de nombres rationnels. Voilà enfin une construction de l'ensemble des nombres que l'oin appelle encore "le continu" car il est possible de placer tous les nombres sur une ligne (continue).

3 Le tout peut-il être plus grand que la partie ?

(L'ensemble de tous les entiers par rapport à l'ensemble de tous les nombres pairs).

3-1 Une théorie mathématique de l'infini

Cantor formule des concepts qui vont boulverser la pensée mathématique ;  sa démarche allie réflexion mathématique et perception métaphysique du monde. Il écrit : "sans un petit grain de métaphysique il est impossible, à mon avis, de fonder une science exacte ; la métaphysique telle que je la conçoit est la science de ce qui est, c'est à dire de ce qui existe donc du monde tel qu'il est en soi et pas tel qu'il nous apparait."

Dédékind constate que l'axiome "le tout est plus grand que la partie" n'est pas toujours vérifié.

Si un ensemble ne vérifie pas cet axiome, s'il est en bijection avec une de ses parties, on dira qu'il est infini.

IN est un ensemble infini. Cantor note ℵ0 son cardinal.

Cantor