Une application pratique du Barycentre en Sciences Appliquées : Construction des Courbes de Bézier et B-Splines en Conception Assistée par Ordinateur.

Par Vincent Lesage, professeur à l'ESAAT de Roubaix, octobre 2001.
A l'occasion d'une recherche bibliographique pour constituer un cours de BTS sur ce sujet, il est apparu qu'il peut être abordé (partie I. seulement !) en Série S.
En effet, c'est une application directe du Barycentre.
Trois approches pour revoir la notion de Barycentre (2001)

Attention : la partie concernant les Courbes Paramétrées par contre est sortie des nouveaux programmes de S.
Le thème des Courbes de Bézier est une notion à multiples facettes, vraiment très riche, au croisement de nombreux domaines mathématiques très divers : Analyse, Cinématique, Géométrie Différentielle, Géométrie Affine, Géométrie Projective, Géométrie Fractale, Probabilités, ...
Les Courbes de Bézier sont par ailleurs devenues incontournables dans leurs applications concrètes dans l'industrie, l'infographie, ...
 

Voici donc proposé ici un résumé succinct de la bibliographie importante à ce sujet :

Plan de l'exposé : approche géométrique des Courbes de Bézier et B-Splines
I. Introduction progressive aux Courbes de Bézier
II. Historique bref et autres propriétés importantes des Courbes de Bézier
III. Les Courbes B-Splines définies à partir des Courbes de Bézier
IV. Correspondance des Points de Contrôle Spline - Bézier

Pour approfondir ( réactualisation  2003-2004 ) :
V. Les Courbes de Bézier Rationnelles
VI. Les Surfaces de Bézier et les Surfaces B-Splines
VII. Les Surfaces de Bézier Rationnelles
VIII. L'interprétation fractale des Courbes de Bézier (Définition plus concise, par Subdivision, sans paramétrage)
IX. L’interprétation probabiliste des Courbes de Bézier (Loi Binomiale)
X. Les Courbes et Surfaces de Bézier dans les calculs d’Aires et de Volumes
XI. Les Polynômes - Approximants de Bernstein et l'expression des Courbes et Surfaces de Bézier dans la Base fonctionnelle des Polynômes - Poids de Bernstein 
XII. Construction analytique des Courbes Bsplines Uniformes par la Base Bspline associée.

Si au contraire vous voulez court-circuiter toute théorie mathématique ou les calculs
qui suivent et savoir quand même en quoi cela consiste (la seule connaissance de la prise de milieu permet de tracer toutes les courbes qui y sont proposées en exercice !) :
Construction pratique "à la main" des courbes de Bézier et B-Spline (au format Word, 30 ko)

I.  Introduction progressive aux Courbes de Bézier :
Soit M ( t ) le Barycentre de ( A, 1-t ) ( B, t ).
t est la proportion du segment [AB] où se situe le point M ( t ) :
t = 0      =>   M = A
t = 0,5   =>   M = milieu de [AB]
t = 1      =>   M = B 
Quand t parcourt l'intervalle [0,1], il est clair que le point M( t ) décrit tout le segment [AB].

Vocabulaire :
Le segment [AB] est la Courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B.
Les Polynômes 1-t et t sont les Polynômes - Poids de Bernstein de degré 1.

Construisons une courbe paramétrée en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède :
1ère étape :
- Soit M₁( t ) le Barycentre de ( A, 1-t ) ( B, t ) ; M₁( t ) décrit [AB].
- Soit M₂( t ) le Barycentre de ( B, 1-t ) ( C, t ) ; M₂( t ) décrit [BC].
2ème étape :
- Soit M ( t ) le Barycentre de ( M₁, 1-t ) ( M₂ , t ).



Remarque :
M ( t ) se situe à la même proportion du segment [M₁ M₂] que M₁ par rapport au segment [AB] ou M₂ par rapport au segment [BC].

Propriété de la construction :
La courbe obtenue est l'enveloppe des segments [M₁ M₂] : en tout point M, la tangente à la courbe est le segment [M₁ M₂].
M ( t ) décrit alors une Courbe de Bézier de degré 2, qui, par construction :
commence en A et se finit en C, et a pour tangentes (AB) en A et (BC) en C.
C'est en fait un arc de Parabole (que nous pourrions noter très logiquement [ABC] ) :



Les propriétés d'association du Barycentre nous permettent d'exprimer M ( t ) plus directement :
M ( t ) est ainsi le Barycentre de ( A, (1-t)²  ) ( B, 2t(1-t) ) (C, t² ).
Vocabulaire :
M ( t ) décrit la Courbe de Bézier de degré 2 avec 3 points de contrôle A, B et C.
Les Polynômes (1-t)², 2t(1-t) et t² sont les Polynômes - Poids de Bernstein de degré 2.

Remarque : 
Comment faire le lien avec la définition classique dans le plan Euclidien, la plus connue, avec Foyer et Directrice D ?
Voir aussi à ce sujet :
Paraboles et tangentes par l'académie de Marseille
Ainsi :
ABC est un triangle rectangle isocèle en B ;
le Foyer est le milieu de [AC] ; la Directrice est la parallèle à (AC) passant par B :



Rien ne nous interdit de prolonger au delà des extrémités A et C l'arc à la parabole entière :
il suffit, à partir de la même définition analytique à l'aide des Polynômes - Poids de Bernstein, de faire varier le paramètre t non dans [ 0 ; 1] ( interpolation ), mais dans un ensemble encore plus vaste
( extrapolation à l'ensemble R  des réels pour obtenir toute la parabole, voire même à C l'ensemble des nombres complexes, si l'on veut obtenir par exemple la Surface de Riemann d'équation Z = z ² ). 


Construisons une courbe paramétrée en rajoutant une 3ème étape à ce qui précède :
1ère étape : 3 Courbes de Bézier de degré 1 :
- Soit M₁( t ) le Barycentre de ( A, 1-t ) ( B, t ) ; M₁( t ) décrit [AB].
- Soit M₂( t ) le Barycentre de ( B, 1-t ) ( C, t ) ; M₂( t ) décrit [BC].
- Soit M₃( t ) le Barycentre de ( C, 1-t ) ( D, t ) ; M₃( t ) décrit [CD].
2ème étape : 2 Courbes de Bézier de degré 2 :
- Soit N₁( t ) le Barycentre de ( M₁, 1-t ) ( M₂, t )
- Soit N₂( t ) le Barycentre de ( M₂, 1-t ) ( M₃, t ) 
3ème étape : 1 Courbe de Bézier de degré 3 :
- Soit M ( t ) le Barycentre de ( N₁, 1-t ) ( N₂, t )
Les propriétés d'association du Barycentre nous permettent d'exprimer M ( t ) plus directement :
M ( t ) est ainsi le Barycentre de ( A, (1-t)³  ) ( B, 3t(1-t)² ) (C, 3t²(1-t) ) (D, t³).
Vocabulaire :
M ( t ) décrit la Courbe de Bézier de degré 3 avec 4 points de contrôle A, B, C et D.
Elle part de A pour finir en D.
C'est en fait un arc de Cubique (que nous pourrions noter très logiquement [ABCD] ) :



Les Polynômes (1-t)³, 3t(1-t)² , 3t²(1-t) et t³ sont les Polynômes - Poids de Bernstein du degré 3.
Intérêt du degré 3 : en plus des courbes d'une plus forte régularité, il permet de dessiner des plis (comme ceux de la cubique d'équation : y = x³-3x , en x = 1 ou -1), ou des points d'inflexion (comme celui de la cubique d'équation : y = x³-3x , en x = 0), ou des points de rebroussements (comme le point médian dans le chiffre 3), ou des points doubles (comme le croisement dans la lettre alpha), ce que le degré 2, avec ses arcs de paraboles, ne sait pas faire !

Cas particulier : Courbe d’un Polynôme de degré 3 :
On peut définir la courbe de la fonction f de la forme :
f(x) = a x³ + b x² + c x + d  ( fonction cubique, de dérivée f ‘ (x) = 3 a x² + 2 b x + c ),
comme une Courbe de Bézier à 4 Points de Contrôle.
On s’impose leurs abscisses : x_A < x_B < x_C < x_D suite arithmétique : ainsi f est définie sur l’intervalle [x_A , x_D] .
On voudrait alors savoir : quelles ordonnées y_A , y_B , y_C , y_D  prendre D
- Pas de problème pour les 2 extrémités A et D : elles sont sur la courbe de f :
  y_A   =  f(x_A)   et   y_D =  f(x_D) .
- Quant aux 2 points intermédiaires B et C, ils sont chacun sur une tangente à la courbe de f :
  B sur la tangente en A :  y_B = y_A + (x_B – x_A) f ’ (x_A ) ;
  C sur la tangente en D :  y_C = y_D + (x_C – x_D) f ’ (x_D) .

Un exercice élémentaire de Dérivation, basé sur cette construction, au format Word (25 ko)

Cette méthode de calcul se généralise facilement à toute courbe paramétrique cubique ( x(t) , y(t) ) :
on remplace dans les formules : l’abscisse par le paramètre de temps t , et l'ordonnée f(t) par x(t), puis par y(t).
Les points de contrôle P_i ainsi définis ont 3 coordonnées ( t_P, x_P, y_P ) : pas grave, il suffit d’enlever le temps !

Remarques :
Les logiciels de géométrie plane Cabri et Geoplan W ont intégré des fichiers dédiés aux courbes de Bézier de degré 3, permettant de les visionner et de les manipuler :
sur Cabri : Figures \ Lycée \ Bezier.fig
sur Geoplan W : Exemple2 \ Bezier4.g2w

D'autre part, tous les logiciels de dessin utilisent les courbes de Bézier de degré 3 :
Exemple : dans Paint, pour rester à un niveau très accessible (disponible dans le dossier Accessoires de l'environnement Windows), la mise en oeuvre n'est pas très intuitive (l'introduction des points de contrôle ne se fait pas dans la suite logique !) :
- Cliquer sur l'icône | Z | , à côté de l'icône | \ | ;
- Tracer d'abord, comme avec | \ | , le segment [AD] en ne relâchant pas le bouton ;
- Cliquer ensuite consécutivement aux emplacements des points B et C.
Ainsi obtient-on exactement la courbe de Bézier de degré 3 définie par A, B, C, D :



Un arc de parabole exprimé en Bézier de degré 2 se traduit facilement en Bézier de degré 3 :



Pour obtenir la courbe d'un Polynôme de degré au plus n avec une Courbe de Bézier de degré n : il suffit de transformer la coordonnée x en fonction affine du temps t : tout simplement en s'imposant une répartition régulière des abscisses des n+1 points de contrôle de la Courbe.
Les fonctions usuelles x^k définies sur l'intervalle [ -m , m ] ont alors une représentation Bézier très simple :



Par construction, la courbe paramétrée obtenue comme milieu de deux courbes de Bézier est elle-même une courbe de Bézier, de points de contrôles les milieux des points de contrôle correspondants sur chacune des deux courbes.
Cela se généralise : toute combinaison linéaire de fonctions cubiques peut être obtenue  par combinaison linéaire des ordonnées des points de contrôle de Bézier respectifs engendrant les courbes de ces fonctions, leurs abscisses suivant par ailleurs une progression arithmétique commune : 



Il est à noter aussi que l'intégrale sur l'intervalle du polynôme f est tout simplement égale au produit de l'amplitude de l'intervalle par la moyenne des ordonnées des points de contrôle qui engendrent sa courbe sur l'intervalle !  
Voir en fin d'exposé :  X. Calculs d'aires et de volume par les Bézier.


Schéma simple résumant la construction d'une Courbe de Bézier de degré 2 ou de degré 3 par le Barycentre, proposée par le CRDP de Grenoble (1998)

Visionner la construction de M ( t ) quand t varie, pour une Courbe de Bézier de degré 3, activité interactive proposée par l'Université Laval de Québec (1996)

Visionner l'influence des Points de Contrôle sur une Courbe de Bézier de degré 3, activité interactive proposée par la National Taiwan Normal University (2000)

Généralisation à Bézier de degré k :

Cette construction, itérative, peut être poursuivie bien au delà du degré 3 (qui suffit généralement), jusqu'à n'importe quel degré k.
C'est l'Algorithme de De Casteljau. 
On obtient alors une Courbe de Bézier de degré k, à k+1 points de contrôle.
Les Polynômes - Poids de Bernstein de degré k sont alors les k+1 termes du développement de la somme à la puissance k : [ ( 1-t ) + t ] ^k , et la Formule du Binôme fournit leur expression algébrique.
On en déduit une façon pratique de représenter l'Algorithme de De Casteljau sous une forme d'arbre analogue à celle du Triangle de Pascal qui décrit la Formule du Binôme.

Algorithme de De Casteljau : extrait de la thèse de David Roussel (Paris XI) sur les Courbes de Bézier et B-Spline (1999)


II. Historique bref et autres propriétés importantes des Courbes de Bézier :

Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France à partir des années 60, par des ingénieurs ( Bézier chez Renault, De Casteljau chez Citroën ) qui cherchaient à définir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.
Une Courbe de Bézier est une courbe paramétrique qui permet très simplement, par construction itérée de Barycentres ( Algorithme de Casteljau ), de réaliser un arc de courbe continu d'extrémités imposées, et avec des Points de Contrôle qui définissent les tangentes à cette courbe.

Après traduction de cette construction en coordonnées du point M ( t ) décrivant la Courbe de Bézier, on se rend compte que les Points de Contrôle définissent plus exactement les vitesses (pour Bézier de degré 2), voire les accélérations (pour Bézier de degré 3) du point M ( t ) .

TP pour Terminale S avec calcul des coordonnées du mobile M ( t ) et de son vecteur vitesse :
Barycentre et Courbes de Bézier en Terminale S, proposée par l'Académie de la Réunion (1998)

Une Courbe de Bézier revient à réaliser une sorte de Moyenne Pondérée d'une suite de segments contigus, bornés par les Points de Contrôle.

Remarque :
Les propriétés du Barycentre (conservé par transformation affine quelconque) entraînent la chose suivante :
Appliquer une même transformation affine à tous les points de contrôle revient à appliquer cette transformation affine à l'ensemble de la courbe. 
Les Courbes de Bézier et courbes dérivées sont ainsi à la base des polices vectorielles de caractères et images vectorielles utilisées actuellement dans nos ordinateurs.
Par exemple : mettre une lettre de police vectorielle en italiques revient ainsi à déplacer ses points de contrôle supérieurs vers la droite d'autant plus qu'ils sont éloignés de la base de la lettre, invariante (par une transformation affine appelée "cisaillement") ; de même, en dessin d'animation, le morphing d'une courbe est beaucoup plus simple à décrire par la seule dynamique de ses points de contrôle.


III. Les Courbes B-Splines définies à partir des Courbes de Bézier :

Une courbe de Bézier est totalement modifiée dès qu'on déplace un point de contrôle : on dit que la méthode de Bézier est une méthode globale.
Les Courbes B-Splines Uniformes, relatées aux Courbes de Bézier, ont été définies dans les années 70 à travers un algorithme efficace car pyramidal (analogue à celui de De Casteljau), stable numériquement (coefficients multiplicatifs toujours positifs) et interprétable géométriquement, par Cox et DeBoor pour remédier à l'inconvénient de la globalité : le déplacement d'un point de contrôle de la courbe n'affecte ainsi plus qu'une partie limitée de la courbe, ce qui amène un plus grand confort dans la Conception Assistée par Ordinateur.
La méthode B-Spline est donc une méthode locale.
Les courbes B-Splines ont été inventées en fait par Schoenberg dès 1947, qui les définit de façon purement analytique, par morceaux, avec conditions imposées de régularité. (Pour en avoir la définition et l'expression analytiques précises : voir Cours d'infographie de Christian Jacquemin LIMSI - CNRS Paris Sud (2001))

Parfois, pour mieux comprendre, un bon dessin vaut mieux que de grands discours :
Expérimenter sans peine la construction d'une Courbe de Bézier de degré 3 ou d'une B-Spline de degré 3, activité interactive proposée par l'Université Laval de Québec (1996)

Une B-Spline Uniforme, considérée uniquement du point de vue géométrique, peut être sommairement définie comme une suite de Courbes de Bézier accolées les unes aux autres de façon à ce que les raccordements entre elles soient suffisamment lisses aux points de raccord : on recherche la coïncidence de part et d'autre des vitesses (pour B-Spline de degré 2), voire des accélérations (pour B-Spline de degré 3).

Exemple :
B-spline Uniforme de degré 2, construite à partir de deux courbes de Bézier de degré 2, notées [ABC] et [CDE] :
Pour avoir l'égalité des vitesses au point de raccordement C, il faut et il suffit que C soit le milieu de [BD] :



Les Points de Contrôle des Courbes de Bézier, tels que les a défini Pierre Bézier, deviennent alors dans ce contexte très lourds à manier : aussi l'américain Farin a eu l'idée judicieuse de les redéfinir totalement, de façon à ce que deux courbes de Bézier consécutives aient en commun tous leurs points de contrôle, sauf évidement le premier de l'une et le dernier de l'autre.
Les nouveaux points de contrôle de Farin s'expriment en fait très simplement, comme des barycentres des Points de Bézier originels à coefficients fixés une fois pour toutes.
[Pour avoir une idée de la justification théorique : voir le paragraphe XII. :
Construction analytique des Courbes Bsplines Uniformes par la Base Bspline associée.]
Attention :
les nouveaux points de contrôle ainsi définis ne comprennent plus les extrémités.
Pour imposer le passage par un point donné, il suffit de répéter ce point un nombre suffisant de fois (lié au degré de la B-Spline) dans la liste des points de contrôle.


IV. Correspondance des Points de Contrôle Spline - Bézier :

Degré 2 : permet de comprendre la construction de B-spline Uniforme à partir de Bézier :
Les points de contrôle A, B, C de Bézier sont remplacés par P, Q, R tels que : 
Q = B , seul point originel conservé .
P = symétrique de B par rapport à A .
R = symétrique de B par rapport à C .
Ainsi le segment [PQ] définit à la fois le point de départ (son milieu) et le vecteur vitesse (donc la tangente) en ce point.
De même, le segment [QR] définit à la fois le point d'arrivée (son milieu) et le vecteur vitesse (donc la tangente) en ce point.
Considérons alors la courbe de Bézier définie par les "nouveaux" points de contrôle Q, R, S :
le segment [QR] définit à la fois le point de départ (son milieu) et le vecteur vitesse (donc la tangente) en ce point : le raccord avec la courbe de Bézier précédente est continu et avec le même vecteur vitesse (donc la même tangente).
La réunion de ces deux Courbes de Bézier définit ainsi la B-spline Uniforme de degré 2 de points de contrôle P, Q, R et S :



Puisque le vecteur vitesse tout le long de la B-spline est continu, on dit que la continuité de la courbe est C¹.

Degré 3 :
Ce qui suit pourra apparaître au lecteur comme une recette de cuisine un peu miraculeuse, mais cela fonctionne bien. Pour avoir une idée de la justification théorique, il pourra aller voir le paragraphe XII. :
Construction analytique des Courbes Bsplines Uniformes par la Base Bspline associée.
 
Construction pratique :
1. Tracer une ligne brisée PQRS.
2. Diviser chaque segment en 3 parties égales (Q, B, C, R sur [QR]).
3. Relier le 2ème tiers d'un segment au 1er du suivant.
4. Prendre le milieu des raccourcis obtenus (A face à Q ; D face à R).
La Bspline contrôlée par P,Q,R,S coïncide avec la courbe de Bézier [ABCD].
5. Rajouter un point T après S crée un courbe de Bézier [DEFG] se raccordant à la précédente en D de façon lisse optimale : vitesse et accélération communes de part et d'autre.
L'ensemble des 2 Bsplines PQRS et QRST (3 points de contrôle communs sur 4!) constitue, par recouvrement, la Bspline PQRST. 

Ainsi, la définition des 4 points de contrôle nouveaux P, Q, R, S à partir des 4 anciens points de Bézier A, B, C, D  est nettement plus compliquée que pour le degré 2 : il faut inverser les relations barycentriques observées sur la figure ci-contre :
A Barycentre de (P, 1) (Q, 4) (R, 1) ; B Barycentre de (Q, 2) (R, 1) ;
C Barycentre de (Q, 1) (R, 2) ; D Barycentre de (Q, 1) (R, 4) (S, 1).
[Comment a t'on obtenu ces relations pas du tout évidentes a priori D Il suffit de se souvenir qu'une courbe de Bézier de degré 3 est bâtie à partir de 2 arcs de paraboles [ABC] et [BCD] (courbes de Bézier de degré 2) ; pour prolonger de façon continue la courbe de Bézier de degré 3 par une autre du même type, il suffit de choisir [DEF] l'un des deux arcs suivants sur la même parabole que [BCD], dans son prolongement. Cela aboutit aux relations barycentriques simples : D est le milieu de [CE] et le symétrique R de B par rapport à C coïncide avec le symétrique de F par rapport à E (Voir les expressions analytiques des dérivées sur la Base de Bernstein en fin d'exposé). Il est alors logique de retrouver ce point R parmi les nouveaux points de contrôle.]    



La vitesse et l'accélération en A ne dépendent que des 3 premiers points de contrôle P, Q, R.
La vitesse et l'accélération en D ne dépendent que des 3 derniers points de contrôle  Q, R, S.
Le vecteur vitesse et sa dérivée (le vecteur accélération) tout le long de la B-spline de degré 3 sont pour cette raison continus, on dit que la continuité de la courbe est C².
Généralisation : pour B-Spline Uniforme de degré n, la continuité de la courbe est C ^{n - 1}.

Pourquoi "Uniforme" ?
Les N courbes de Bézier qui composent la B-Spline sont définies chacune par un paramètre local t de temps décrivant toujours [0,1] ; si on décale simplement ce paramètre de +1 d'une courbe de Bézier à la suivante,  on fait décrire alors à t tout l'intervalle [0, N], ce qui évite la répétition du même t, et donc autorise une définition paramétrique globale de la B-Spline.
On appelle Vecteur de Noeuds la donnée de la suite croissante t_i des temps de parcours sur la B-Spline signalant un changement de courbe de Bézier : le Vecteur nodal de la B-Spline vaut ici (0, 1, 2, ..., N) ; la répartition de ces valeurs est donc uniforme !



Conversion analytique Spline - Bézier de degré 3 : extrait de la thèse de David Roussel (Paris XI) sur les courbes de Bézier et B-Spline (1999)

Une Courbe B-Spline revient ainsi à faire sur la suite de segments définis par les nouveaux Points de Contrôle une sorte de Lissage par Moyenne Mobile
(en regroupant par paquets de 2 segments pour B-Spline de degré 2, de 3 segments pour B-Spline de degré 3, ... => de k segments pour B-Spline de degré k).

Avant de passer à la suite, il est à noter ici que toute construction dans le Plan, qui ne nécessite que la notion de Barycentre, est généralisable à n'importe quel Espace de dimension supérieure, sans rien changer. 




Pour approfondir :


V. Les Courbes de Bézier Rationnelles :

        Les Courbes de Bézier (et les B-Splines dérivées) obtenues par Barycentration en Géométrie Plane, ont l’inconvénient majeur de ne pouvoir reproduire qu’un seul type de Conique : l’arc de Parabole.

Pour dessiner un arc de Cercle, d’Ellipse ou d’Hyperbole, un détour par la Géométrie Projective s’impose : ceci revient à plonger le Plan dans un Espace de dimension 3, pour construire une parabole dans cet Espace, et la "voir" à travers le Plan comme on la verrait à travers une vitre.
Pour plus de détails théoriques (Géométrie Projective), consulter par exemple :
Perspective et Géométrie Projective, par Chronomath et l'IREM de Marseille (2001)
Perspective (ou Projection) Centrale, entre autres Perspectives (2001)

En effet : toute Conique tracée dans un Plan de l’Espace de dimension 3 peut être obtenue par Projection Centrale d’une Parabole de cet Espace. Cela tient essentiellement au fait que tout Plan de l'Espace strictement parallèle à une Droite Génératrice de Cône coupe ce cône en une parabole.

        Pour illustrer concrètement ceci, voici comment on peut tracer le Quart de Cercle inscrit dans un triangle ABC rectangle isocèle en B, situé entièrement dans le plan d’équation (z = 1) :
D, le symétrique de l’Origine O par rapport à A, est donc dans le plan ( z = 2 ).
La Courbe de Bézier de degré 2, définie dans l’Espace par les points de contrôle consécutifs D, B et C, est un arc de parabole inscrit dans le Triangle DBC.
On peut alors démontrer que, par la Projection Conique de centre O, sur le plan ( z = 1 ), cet arc a pour image le Quart de Cercle inscrit dans ABC.
En langage plus concret : la parabole est "vue" comme un cercle.



Soit N(t) le point courant décrivant la parabole :
N(t) peut donc s’exprimer comme barycentre de (D, (1-t)²) (B,2t(1-t)) ( C, t²), t décrivant [0,1].
Soit M(t) l’image de N(t) par la projection centrale de centre O sur le plan ( z = 1 ).
Ses coordonnées sont donc celles de N(t) divisées par la cote z(t).
M(t) décrit le quart de cercle quand t passe de 0 à 1.
Le calcul de ses coordonnées fait apparaître que :

        M(t) est le Barycentre de (A, 2(1-t)²) (B,2t(1-t)) ( C, t²).

C’est pratiquement la même formule que pour la Courbe de Bézier de degré 2 définie par A, B et C ; la seule chose qui change étant la multiplication par un poids w_A = z_D = 2 du coefficient de Bernstein de A : on observe ainsi la sur-pondération de l'une des deux extrémités. 
[Si ne pas sur-pondérer une des extrémités ( w_A = 1 ) donne un arc de Parabole, et sur-pondérer ( w_A > 1 ) un arc de Cercle ou d'Ellipse, alors logiquement sous-pondérer ( 0 <  w_A < 1 ) aboutit à un arc d'Hyperbole.]

        La somme des coefficients de A, B, C n’est donc plus 1, mais un polynôme en t : les coordonnées de M(t) ne s’expriment plus alors comme des polynômes en t, mais comme des quotients de polynômes en t.

[Ici le dénominateur vaut 1 + (1-t)² , il est donc strictement positif :
Même signe au dénominateur pour tout t ó la courbe est un arc de Cercle ou d'Ellipse ;
Existence de nombres réels t annulant le dénominateur  ó la courbe est un arc d'Hyperbole (le paramètre t doit alors éviter ces valeurs pour que l'arc existe).]

        D’où le nom de « Courbe de Bézier Rationnelle » pour la courbe paramétrique ainsi obtenue. On peut alors, dans l'esprit des paragraphes précédents, prolonger cette construction pour aboutir à la notion de B-Spline Rationnelle Non Uniforme, "NURBS" en anglais, largement utilisée en CAO - DAO ou dans les logiciels graphiques professionnels.



Remarque :
Le paramétrage obtenu pour cet arc est transposable à tout arc semblable du plan. 
On modifie alors peu de choses à la construction élémentaire précédente pour obtenir dans la foulée :
- Un Demi Cercle => Une Réflexion par rapport à ( y = 0 ) donne le Quart de Cercle manquant.
- Un Quart d’Ellipse => Une Dilatation suffit : prendre ABC triangle rectangle seulement.
- Un Arc de Cercle d’angle géométrique donné â < 180 ° => Prendre ABC triangle isocèle de sommet B et d’angle à la base â/2 ; le multiplicateur 2 est changé en 1 / cos ² ( â/2 ).
- Un Quart de Cercle par une Courbe de Bézier Rationnelle de degré 3 : déduire par équivalence Bézier degré 2 ó Bézier degré 3 les 4 points de contrôle.

        Dans les deux derniers cas, on récupère d'abord les points de contrôle déterminant l’arc de parabole antécédent de l'arc de cercle par la projection centrale, ensuite on en déduit leurs cotes z ( = sur-pondérations des points images), puis leurs images dans le plan (z = 1), coïncidant avec les points de contrôle de la Courbe de Bézier Rationnelle.
        Il est à noter ici que la lecture conjointe des 3 vues (de face, de dessus et de profil) de la Représentation Géométrale, utilisée en Géométrie Descriptive, facilite grandement la vision de ces calculs.



Il y a une façon alternative, avec Bézier Rationnelle de degré 2, de faire un Arc de Cercle d’angle géométrique donné â < 180° :
=> Prendre ABC triangle isocèle de sommet B et d’angle à la base â/2 :
au lieu de sur-pondérer l'une des 2 extrémités, on peut sous-pondérer le point central :
soit : w_A = w_C = 1  et  w_B =  cos  ( â/2 ) .
Ce résultat peut se retrouver en utilisant la Représentation Géométrale du Cône comme dans l'exemple précédent ; elle permet de même de déduire les sous-pondérations des 2 points de contrôle centraux lors du passage à Bézier de degré 3.



VI. Les Surfaces de Bézier et les Surfaces B-Splines :

        Comment définir simplement une Surface de Bézier dans l’Espace D Il suffit de la déclarer de façon analogue au géographe cartographiant une portion de la Sphère Terrestre : par un quadrillage régulier selon la latitude et la longitude. On définit alors naturellement dans l’Espace les Points de Contrôle A _{i j} , dont les positions relatives permettent de régler la forme et l’altitude de la surface à l’intersection de la latitude i et de la longitude j . La Surface de Bézier de degré (m,n) correspondante se construit en deux étapes :

1^ère étape : Réseau de « parallèles » :
Création de (m+1) , Courbes de Bézier de degré n, de paramètre commun v décrivant [0,1] : 
- A _{0 0}, A _{0 1} , … , A _{0 n} définissent M ₀ ( v ), courbe frontière limitant la surface en latitude.
- A _{1 0}, A _{1 1} , … , A _{1 n} définissent M ₁ ( v ), courbe intermédiaire voisine, analogue à une courbe de latitude constante, mais pas forcément incluse dans la surface.
- etc …
- A _{m 0}, A _{m 1} , … , A _{m n} définissent M _m ( v ), l’autre courbe frontière limitant la surface en latitude.

2^ème étape :  Courbe Isoparamétrique « méridienne » :
Création de la courbe de longitude constante associée à une valeur « gelée » du paramètre v  :
- M ₀ ( v ), M ₁ ( v ), … M _m ( v ) définissent M(u,v), Courbe de Bézier de degré m, de paramètre u décrivant [0,1].
Le « dégel » du paramètre v permet alors à M(u,v) de décrire de façon continue toute la Surface de Bézier.

Remarque :  
La construction permet d'exprimer sans difficulté M(u,v) comme Barycentre des Points de Contrôle A _{i j} .
Le calcul du coefficient affecté à A _{i j} fait apparaître qu'il est le produit des coefficients lignes par colonnes : c'est-à-dire ici le produit du Polynôme - Poids de Bernstein B _n,i ( u ) par le Polynôme - Poids de Bernstein B _m,j ( v ) , et qu’on obtient exactement le même résultat, (donc au final la même surface) en permutant latitude et longitude, parallèles et méridiens, lors des 2 étapes successives.
Ainsi, on peut assimiler la Surface de Bézier de degré (m,n) à un Produit de Courbes de Bézier de degré m par des Courbes de Bézier de degré n. 


Un exemple d'application très simple : Surface de Bézier de degré (1,1),
de Points de Contrôle : A _{0 0} (-1,-1,1) ,  A _{0 1} (-1,1,-1) , A _{1 0} (1,-1,-1) , A _{1 1} (1,1,1) :
avec un tel choix : l'abscisse x coïncide exactement avec la latitude et l'ordonnée y avec la longitude.

1^ère étape :
Création de 2 « parallèles », Courbes de Bézier de degré 1 (segments), de paramètre commun v décrivant [0,1] : 
- M ₀ ( v ) = Barycentre de ( A _{0 0} , 1-v ) ( A _{0 1} , v ) ,
décrit le segment [A _{0 0}, A _{0 1}] frontière limitant la surface en latitude (x = -1).
- M ₁ ( v ) = Barycentre de ( A _{1 0} , 1-v ) ( A _{1 1} , v ) ,
décrit le segment [A _{1 0}, A _{1 1}] frontière opposée limitant la surface en latitude (x = 1).

2^ème étape :
Création de la courbe de longitude constante (y = 1 - 2 v) associée à une valeur « gelée » du paramètre v :
- M(u,v) = barycentre de (M ₀ ( v ), 1-u ) (M ₁ ( v ), u ) ,
décrit, à v constant, le segment [M ₀ ( v ), M ₁ ( v )] , quand le paramètre u décrit [0,1].
Les propriétés d'association du Barycentre permettent d'exprimer M(u,v) sous la forme :
M(u,v) = Barycentre de ( A _{0 0} , (1-u) (1-v) ) ( A _{0 1} , (1-u) v ) ( A _{1 0} , u (1-v) ) ( A _{1 1} , u v )
On observe ici que les coefficients des Points de Contrôle sont bien les produits de Polynômes - Poids de Bernstein de degré 1 en u et en v :  1-u, u  et  1-v, v
Le calcul des coordonnées de M(u,v) donne alors :
x = 1 - 2 u    ;  y = 1 - 2 v  ;  z = 1 - 2 u - 2 v + 4 u v  = (1 - 2 u)(1 - 2 v) = x y 
La Surface de Bézier ainsi construite s'avère être un morceau significatif du Paraboloïde Hyperbolique d'équation z = x y, surface réglée (par recours au degré 1) en forme de Selle de Cheval, qu'on a pu en fait résumer à 4 points stratégiquement placés :


 

        Une Surface de Bézier est aussi appelée dans la littérature Carreau de Bézier ou Patch de Bézier. Voici les types de Carreaux de Bézier de degré (m,n) les plus utilisés dans la pratique graphique :

- Patch de Bézier de degré (1,1) = Patch de Bézier Bilinéaire, minimum nécessaire pour réaliser une surface réglée coincée entre 4 segments (incluse dans un Plan, ou dans un Paraboloïde Hyperbolique). (2x2 points de contrôle, les 4 frontières sont des segments)

- Patch de Bézier de degré (2,2) = Patch de Bézier Biquadrique, minimum nécessaire pour représenter une surface à creux ou à bosse (incluse dans un Cylindre Parabolique, un Paraboloïde Elliptique ou dans un Paraboloïde Hyperbolique). (3x3 points de contrôle, les 4 frontières sont des segments ou des arcs de parabole ; l’altitude du point de contrôle central détermine le réglage du creux ou de la bosse) :




- Patch de Bézier de degré (3,3) = Patch de Bézier Bicubique, minimum nécessaire pour représenter une surface à pli, ou soumise à torsion. (4x4 points de contrôle, les 4 frontières sont des arcs de cubique)

- Dès qu’on veut par contre représenter des parties de Cylindres, Sphères , Ellipsoïdes  ou d’Hyperboloïdes, on doit avoir recours aux Surfaces de Bézier Rationnelles, prolongement de la notion.

        Comment définir simplement une Surface B-Spline Uniforme dans l’Espace D Il suffit de reprendre la définition de la Surface de Bézier, à condition de :
- Changer « Bézier de degré n (resp. m) » par « B-Spline Uniforme définie par n (resp. m) segments consécutifs »
- Changer « u (resp. v) décrivant [0,1] » par « u (resp. v) décrivant [0,m] (resp. [0,n]) »
- Ne plus tenir compte des remarques à propos des frontières, qu’on redéfinit alors de la façon la plus générale : les frontières coïncident avec les 4 courbes isoparamétriques limites : M(0,v) , M(u,0) , M(m,v) et M(u,n).

VII. Les Surfaces de Bézier Rationnelles :

On généralise la méthode abordée pour construire les Courbes de Bézier Rationnelles :
Projection Centrale dans un Espace de dimension 4 (au lieu de 3 dans le cas des Courbes), dont la traduction concrète est la sur-pondération (resp. sous-pondération) par w _{i j}  de chaque Point de Contrôle A _{i j} de la Surface :
Ainsi : M(u,v) Barycentre des ( A _{i j} ,  B _n,i ( u ) x B _m,j ( v ) )    (Surface de Bézier)
devient : M(u,v) Barycentre des ( A _{i j} ,  w _{i j} x B _n,i ( u ) x B _m,j ( v ) )   (Surface de Bézier Rationnelle).

Exemple : le Huitième de Sphère, par un Patch de Bézier Biquadratique Rationnel :
Les 9 points de Contrôle sont tous des sommets du Cube Unité, et parmi eux, 3 sont confondus :

Comme on peut bien l'observer dans cet exemple, les surpoids des Points de Contrôle de la Surface de Bézier Rationnelle se déduisent, de façon générale, des produits ligne par colonne de ceux des Courbes de Bézier Rationnelles (ici quarts de cercles) isoparamétriques correspondantes.



On remarque alors aussi :
- la frontière M(0,v) , courbe de Bézier Rationnelle Biquadratique définie par le triangle isocèle rectangle A _{0 0} , A _{1 0} , A _{2 0} est donc un quart de cercle, avec les surpoids correspondants choisis (sous-pondération w = 1/V2 du sommet A _{1 0} ) .
- idem pour les 2 autres frontières :
  M(u,0)  par A _{0 0} , A _{0 1}, A _{0 2} ; et M(u,1) par A _{2 0} , A _{2 1} et A _{2 2} 
- la frontière M(1,v) se réduit elle au sommet triple A _{0 2} = A _{1 2} = A _{2 2} .
- le calcul des coordonnées de M(u,v) par Formule du Barycentre valide l’appartenance à la Sphère Unité :
  x ²  + y ² +  z ²  =  1 .


VIII. L'interprétation fractale des Courbes de Bézier :

Il existe depuis peu une définition alternative très concise (et très efficace lors de la mise en oeuvre algorithmique) des Courbes de Bézier, sans recours à la cinématique, faisant appel seulement à la Construction de Hutchinson, purement géométrique, d'une Fractale Autoaffine, en prenant garde d'exprimer dans le repère barycentrique approprié les transformations affines associées :  
 
D'après le résumé de la thèse soutenue à ce sujet par Chems Eddine Zaïr, du LIGM, Université Claude Bernard de Lyon (1998)

L’Algorithme de Casteljau, très rapide quand il s’agit d’obtenir un point de paramètre donné sur la Courbe de Bézier, devient lourd quand on doit le répéter pour d’autres valeurs du paramètre afin de tracer une bonne approximation de la courbe. Dans la pratique, on lui préfère nettement les Méthodes de Subdivision, nettement plus rapides, qui en sont cependant dérivées directement : elles se concentrent sur une valeur constante du paramètre :  t = 1/2 , qui permet d'obtenir un point intermédiaire sur la courbe par prise de milieu(x) uniquement.

(On peut sans difficulté généraliser les méthodes de subdivision à toute valeur arbitraire fixée de t, non seulement pour interpoler mais aussi extrapoler : par exemple, le choix de t = -1 ou t = 2 permet de prolonger la courbe de façon uniforme de part ou d'autre de l'arc de Bézier. Cet artifice donne en prime l'accès à une construction géométrique des points de contrôle de la B-spline uniforme correspondante !)

Elles tirent parti de la Propriété d’Auto-Affinité des Courbes de Bézier, qui autorise leur description récursive, à l’instar des fractales engendrées par les "Iterated Function Systems" de Barnsley.
a href="../../geom/fractal/fractales.htm" target="_blank">Pour comprendre les IFS : exercices de tous niveaux pour initier à la Géométrie Fractale (mars 2001)

Dès l’Antiquité, Archimède utilise une méthode de subdivision des arcs de paraboles (Méthode de Déplacement du Point Milieu), qui lui permet de calculer l’aire comprise entre arc et corde par la Méthode d’Exhaustion (Voir détails en fin d'exposé :  X. Calculs d'aires et Bézier). Plus tard, Benoît Mandelbrot utilise exactement la même propriété pour créer des courbes fractales de type Mouvement Brownien (cf. The Science of Fractal Images, 1985, Springer Verlag, page 11). Dans la même période (1974), George Chaïkin la reprend pour produire de façon optimale des Courbes de Bézier.

La Propriété de Dichotomie de l’Arc de Parabole par les Milieux : 
( énoncé d'Archimède traduit en langage Bézier ) :
- Si l’arc de parabole [ABC] est défini comme Courbe de Bézier de degré 2 de points de contrôle consécutifs A, B, C ;
- Si I, J, K sont les milieux des segments [AB], [BC] et [IJ] ;
- Alors l’arc de parabole [ABC] est la réunion des 2 arcs de parabole [AIK] et [KJC] .

Interprétation IFS :
L’arc [ABC] est autoaffine : en effet il est la réunion de ses propres images par les transformations affines contractantes du Plan f₁ et f₂ définies par :
f₁ :     A, B, C à A, I, K          et          f₂ :      A, B, C à K, J, C .



Chacune des transformations est ici la composée d'une dilatation contractante, suivie d'un cisaillement suivant la direction (BK).

Conséquence : l’Algorithme de Subdivision de Chaïkin :
- 1^ère étape : les points de départ A, B, C sont remplacés par A, I, K, J, C .
( l’arc [ABC] est remplacé par les 2 arcs [AIK] et [KJC]. )
- 2^ème étape : on repart des arcs [AIK] et [KJC] , et on leur applique la 1^ère étape.
- et ainsi de suite … on s’arrête dès qu’on dispose d’assez de points pour tracer la courbe.
L’algorithme double le nombre d’arcs à chaque étape : il est donc extrêmement rapide !
[ Si, lors de sa mise en œuvre concrète, on relie à chaque étape les points consécutifs par un segment, on voit que la procédure de Chaïkin consiste à tracer un Raccourci par les Milieux pour mieux coller à la Courbe.]

Dans la pratique, les calculs sont considérablement facilités si l’on exprime systématiquement les transformations affines contractantes f₁ et f₂ par leurs matrices, exprimées dans le Repère Barycentrique associé aux Points de Contrôle de Bézier.
Les Coordonnées Barycentriques sur un autre exemple : expression de la projection en Pespective Cavalière (2001)

Cela autorise en outre un accès (optionnel) au paramètre « temps de parcours » sur la Courbe : à tout point du Plan on peut rajouter une coordonnée supplémentaire t ; pour que t puisse jouer le rôle du temps, il suffit d’affecter aux Points de Contrôle de Bézier successifs des valeurs de t uniformément réparties croissant de 0 à 1.
Cela permet enfin une transposition sans peine de l’Algorithme IFS Bézier vers l’Algorithme IFS B-Spline Uniforme correspondant, par simple changement local de Repère Barycentrique.
(On a alors la bonne surprise, après la transposition, de constater que le paramètre t rajouté coïncide parfaitement avec le temps de parcours sur la B-Spline !) 

Rappel sur la mise en œuvre des IFS :
il y a deux implémentations possibles pour tracer l'attracteur de l'IFS déduit de f₁ et f₂ :
- l'algorithme pseudo-aléatoire de Mickael Barnsley, pour tracer point par point :
on part d'un point qu'on sait sur la courbe ; on calcule et trace son image par f₁ ou f₂ au hasard, et on recommence la procédure avec le nouveau point : la suite obtenue décrit la courbe, mais pas dans l'ordre chronologique !
- l'algorithme récursif exhaustif, pour tracer (à la façon du langage Logo) segment par segment : 
pour les Béziers et B-Splines, il coïncide exactement avec l'Algorithme du Raccourci (Cut Corners ) de Chaikin  :



En voici une implémentation avec une macro de Cabri-Géomètre :
- Activer la macro "Bezier2" (7^ème icône : X ou Y, qui devient alors B2) ;
- Cliquer consécutivement sur les 2 segments de départ, en bas à droite :
Fichier Cabri-Géomètre : Bezier2.fig (15 ko)

Comprendre le maniement d'une macro de Cabri, avec la mise en oeuvre d'un autre exemple d'Algorithme de Subdivision :
Construction de la Courbe de Von Koch, avec une macro de Cabri (2001)


Extensions de l’Algorithme de Chaïkin :

- aux courbes continues voisines de type fractal :
Modifier légèrement l'intensité du cisaillement en K rend la courbe rugueuse, comme la trajectoire fractale d'un mouvement Brownien. C'est un moyen simple de superposer à la courbe une texture dès sa construction, sans recourir à une procédure supplémentaire.  

- aux Courbes de Bézier de degré 3 :
La propriété de Dichotomie des arcs de paraboles est généralisable aux Courbes Cubiques dans l’Espace :
Notons [ABCD] l’arc de cubique du Plan de points de contrôle consécutifs A, B, C D.
Opérons ici une dichotomie à 3 niveaux :
I milieu de [AB] ; J milieu de [BC] ; K milieu de [CD] ;
P milieu de [IJ] ; Q milieu de [JK] ;
R milieu de [PQ] .
Alors : l’arc de cubique [ABCD] est la réunion des arcs de cubiques [AIPR] et [RQKD].



En voici une implémentation avec une macro de Cabri-Géomètre :
- Activer la macro "Bezier3" (7^ème icône : X ou Y, qui devient alors B3) ;
- Cliquer consécutivement sur les 3 segments de départ, en bas à droite :
Fichier Cabri-Géomètre : Bezier3.fig (23 ko)

- aux Courbes de Bézier de degré k :
La propriété de Dichotomie des arcs de paraboles est généralisable aux Béziers de degré k dans l’Espace de dimension k .
Si l'Espace de départ est de dimension plus petite que k, on le plonge dans un Espace de dimension k, en rajoutant les coordonnées manquantes ad libidum pour chaque point de Contrôle. Puis on projette sur l'Espace de départ les points obtenus après subdivision de Chaïkin.
Exprimé plus rigoureusement : une Courbe de Bézier de degré k est le résultat de la projection d'un attracteur IFS de 2 transformations affines contractantes définies dans un Espace de dimension k au moins (on peut éventuellement aussi rajouter le paramètre temps t, pour le faire apparaître explicitement dans les calculs).

- aux Courbes B-Splines :
Les Points de Contrôle d’une B-Spline s’expriment comme Barycentre des Points de Contrôle des Béziers qui la constituent, et la relation est réversible. Toute subdivision des Points de Contrôle d'une des Courbes de Bézier par l'Algorithme du Raccourci de Chaïkin se traduit donc en une subdivision équivalente des Points de Contrôle de la B-Spline correspondant à ce morceau précis de la courbe.
En recommençant, morceau après morceau, la subdivision autant de fois que nécessaire, la réunion des derniers points de contrôle obtenus forme une bonne approximation de la B-Spline.
(Les relier dans l'ordre chronologique donne la version B-Spline de l'Algorithme du Raccourci de Doo - Sabin.)
Interprétation IFS :  
La Courbe B-Spline résulte d'un IFS qui coïncide précisément, malgré les apparences, avec l'IFS de la Courbe de Bézier à laquelle elle s'identifie localement :



Globalement la Courbe B-Spline résulte donc d'une collection d'IFS, à la manière d'un paysage fractal constitué de plusieurs fractales bien différenciées.
On notera au passage que pour faire coïncider le temps t = 0 avec le point de départ de la courbe B-spline, on doit choisir pour temps correspondant au premier point de contrôle un temps antérieur (1–n)/2, donc négatif, et incrémenter de +1 à chaque fois pour obtenir le temps associé au point de contrôle suivant. Ainsi on récupère sur le dernier point de contrôle le même écart de temps par rapport à la fin de la courbe qu'entre le premier point de contrôle et le début de la courbe.  



[Exemple 1 :
Pour construire une B-Spline de degré 2 (figure ci-dessus) : l'Algorithme du Raccourci de Doo - Sabin revient simplement, à chaque étape, à subdiviser en 4 chaque segment de la ligne brisée, à éliminer dans le résultat les 2 segments extrêmes obtenus et à relier par un nouveau segment aux voisins les plus proches la réunion des 2 segments médians restants.] 



[Exemple 2 :
Pour construire une B-Spline de degré 3 (figure ci-dessus) : l'Algorithme du Raccourci de Catmull - Clark revient simplement, à chaque étape, à remplacer la ligne brisée PQRS par les 2 lignes brisées s'appuyant sur les milieux des segments et les barycentres de (P;1)(Q;6)(R;1) et (Q;1)(R;6)(S;1) .] 


- aux Surfaces de Bézier et B-Spline :
On généralise la méthode de Chaïkin aux Surfaces de la façon suivante :
Une Surface de Bézier résulte d'un croisement ligne-colonne de Courbes de Bézier (=Produit Tensoriel) ; les poids dans les formules barycentriques exprimant les nouveaux points de contrôle à partir des anciens sont les produits des poids, ligne par colonne. On passe ensuite aux B-Splines par changement de repère barycentrique.

Conséquence : une Surface de Bézier peut être reconstituée par un IFS de 2 x 2 = 4 transformations affines. 
Exprimé plus rigoureusement : une Surface de Bézier, engendrée par n Points de Contrôle en tout, résulte de la projection sur un Espace de dimension 3 de l’attracteur IFS de 4 fonctions affines contractantes définies, elles, dans un Espace à n – 1 dimensions au moins (on peut éventuellement aussi rajouter les paramètres u et v, pour les faire apparaître explicitement dans les calculs).
Illustration la plus simple : l'IFS d'une Surface de Bézier Bilinéaire (morceau de Paraboloïde Hyperbolique, voir dessin plus haut) est représentable par 4 transformations affines contractantes de l'Espace usuel de dimension 3 ( = 4 points de Contrôle – 1 ) , chacune d'elle étant la composée d'un vissage (ce qui explique la forme tordue), d'un cisaillement plan et d'une dilatation contractante :



Ainsi l’Algorithme de Doo - Sabin (1978) de génération de Surfaces par subdivision est la généralisation de la construction de Doo-Sabin des Courbes B-Splines quadratiques aux Surfaces B-Splines Biquadratiques. (IFS à 8 dimensions)
De même, l’Algorithme de Catmull – Clark (1978) de génération de Surfaces par subdivision, le plus utilisé, est la généralisation de la construction de Catmull- Clark des courbes B -Splines cubiques aux Surfaces B-Splines Bicubiques. (IFS à 15 dimensions)
Ces deux algorithmes reviennent à définir la Surface par un Polyèdre de départ très sommaire, qu’on subdivise ensuite de plus en plus, par des opérations très simples de prise de Barycentre sur les sommets obtenus à chaque étape.
Exemple : Surface B-Spline Quadratique, obtenue par Subdivision de Chaikin, exposé par Christine Vercken, de l'ENST (1995)


IX. L’interprétation probabiliste des Courbes de Bézier :

Soit la Courbe de Bézier de degré k, à k+1 Points de Contrôle notés A ₀, A ₁, …, A _k .
Nous avons vu que le paramètre t détermine un point M ( t ) sur la Courbe, qui la décrit entièrement quand t parcourt tout l’intervalle [ 0 ; 1].
Donc le paramètre t a une vocation naturelle à représenter une probabilité.
De plus, les Polynômes - Poids de Bernstein rencontrés dans l’expression des coordonnées de M ( t ) apparaissent aussi dans l’expression des probabilités de la Loi Binomiale B( k, t ).
Rien de plus normal : considérons par exemple la variable aléatoire X définie par :
X est le nombre d’injonctions « 1 pas en avant » dans k tirages aléatoires entre les ordres « Rester immobile » (= échec) et « 1 pas en avant » (= succès) quand la probabilité d’obtenir « 1 pas en avant » est constante, égale à t.
(X suit donc la Loi Binomiale B(k, t)).
Construisons à partir de la variable X  le point aléatoire P(X) = A _X :
A _X est le point de contrôle obtenu (on démarre du premier point de contrôle A ₀ ) après k tirages consécutifs avec la probabilité t constante d'avancer à chaque tirage.
P(X) est donc le résultat (au bout de k pas) d’une Marche Aléatoire sans retour en arrière sur un graphe séquentiel :

Exemple pour k = 2 :

   A ₀ ------------------------------ A ₁ ------------------------------  A ₂
X = 0                              X = 1                              X = 2 pas en tout
Point de départ                                                                       à     En Avant


Ainsi, quand t = 0 (le succès est impossible) , le point mobile, au bout des k tirages, reste toujours au point de contrôle le plus à gauche : en A ₀ .
Et quand t = 1 (le succès est certain), le point mobile, au bout des k tirages, aboutit systématiquement in fine au point de contrôle le plus à droite, en A _k .
En termes de Probabilités, l’analogue du Barycentre est l’Espérance Mathématique, et les équivalents des Coefficients du Barycentre sont alors les Probabilités.
La position moyenne E ( P ( X ) ) = E ( A _X ) du point aléatoire P(X) , coïncide alors exactement avec le point courant de la Courbe de Bézier M ( t ) .

Remarques :
- Si de plus les abscisses des points de contrôle suivent la suite arithmétique 0, 1, …, k , alors l’espérance mathématique des abscisses est kt ( Propriété de la Loi Binomiale B(k,t) ) .
Il en vient que si les abscisses des points de contrôle suivent n’importe quelle suite arithmétique, alors l’espérance mathématique des abscisses ( = abscisse de M ( t ) au final ) est une fonction affine de t.
Dans ce cas précis, la Courbe de Bézier est donc identifiable à la courbe d’une fonction polynomiale de degré k de la variable t.
- D’autre part, l’interprétation probabiliste des Courbes de Bézier permet de comprendre pourquoi les points de contrôle se rapprochent d’autant plus de la Courbe qu’ils sont en plus grand nombre (convergence).
- L’Algorithme de De Casteljau suggère d'autres constructions probabilistes simples donnant le même résultat M ( t ) .
- Extension très simple vers les Surfaces de Bézier :
Si elles sont définies par  le réseau des points de contrôle A _{i , j}  i = 0 à m ; j = 0 à n, 
si u et v sont les paramètres locaux (définis dans [0 ; 1]) de la surface de Bézier de degré (m, n).
si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant les Lois Binomiales B(m, u) et B(n,v),
alors le point courant de la Surface de Bézier est la position moyenne du point aléatoire A _X,Y :
M ( u, v ) = E ( A _X,Y ) .



X. Les Courbes et Surfaces de Bézier dans les calculs d’Aires et de Volumes.
 

1. Aire entre arc de parabole par Dichotomie d’Archimède (ou Subdivision de Chaïkin)

Le savant de Syracuse, comme il l’a déjà utilisée aussi pour estimer l’aire comprise entre corde et arc de cercle, utilise sa Méthode d’Exhaustion pour donner un encadrement de plus en plus fin d’une aire comprise entre corde et arc de Parabole :



au départ l’encadrement à l’étape 0 est le plus simple possible :
0  <   Aire du fuseau entre arc [ABC] et corde [AC]  <   Aire (ABC) = 1

Il y a deux façons d’arriver à l’aire du fuseau, en se reposant sur les étapes successives de la construction récursive de l’arc de parabole, qu'Archimède avait déjà remarquée sous une formulation très voisine :
- se rapprocher par l’extérieur de l’arc, en rognant les coins du triangle ABC ;
- se rapprocher par l’intérieur de l’arc, en accumulant les triangles dans le fuseau :

à l’issue de la 1^ère étape, l’encadrement devient donc :
Aire du triangle AKC = ½   <  Aire du fuseau  <  Aire du trapèze AIJC = ¾
On subdivise ensuite les arcs [AIK] et [KJC] ; on a alors de même :
½ Aire AIK  = 1/16   <  Aire du fuseau entre [AIK] et [AK]  <  ¾ Aire AIK = 3/32
½ Aire KJC = 1/16  <  Aire du fuseau entre [KJC] et [KC]  <  ¾ Aire KJC = 3/32
ajoutons ce qui manque pour récupérer l’aire du fuseau entre arc [ABC] et corde [AC] :
Aire [ABC]-[AC] = Aire [AIK]-[AK] + Aire [KJC]-[KC] + aire AKC
Ceci se traduit par l’encadrement à l’issue de la 2^ème étape :
5/8  <  Aire [ABC]-[AC]  <  11/16

On peut généraliser à l’étape n en remarquant  que dans l’approche extérieure, on retire toujours le quart du dernier retrait, soit la suite : 1 – ¼ – (¼) ² – (¼) ³ – (¼) ⁴ –  …– (¼) ⁿ , convergeant par valeur supérieure vers 2/3. (on utilise le théorème de convergence du cumul de suite géométrique)
De même, on peut généraliser à l’étape n en remarquant  que dans l’approche intérieure, on ajoute toujours la moitié du dernier ajout, soit la suite : ½ + ( ½ )² + ( ½ )³ + …+ ( ½ )ⁿ , convergeant par valeur inférieure vers 2/3 aussi.

Le calcul de l’aire est beaucoup plus élégant par un calcul récursif, calqué sur la construction récursive par l’IFS :
Les applications f₁ et f₂ utilisées dans l’IFS sont affines : cela signifie qu’elles assurent la conservation du Barycentre, qui entraîne celle des proportions d’aires. Chacune de ces transformations affines réduit donc toutes les aires d’un facteur constant (égal à la valeur absolue de son déterminant), qu’on peut évaluer rapidement en regardant ce que f₁ et f₂ ont fait de ABC : AIK et KJC sont des triangles d’aire 1/8 de celle du triangle de départ ABC.
Donc si au départ , le fuseau [ABC]-[AC] occupe une proportion x de l’aire du triangle ABC, alors cela reste valable pour leurs images par f₁ ou f₂  .
Ainsi la relation : Aire [ABC]-[AC] = Aire [ABC]-[AC] + Aire [ABC]-[AC] + aire AKC
peut  se traduire en une équation simple fournissant  x :
x = 1/8 de x + 1/8 de x + 1/2 , dont la solution est  x = 2/3.

Un exercice en série littéraire, présentant la Quadrature de la Parabole par Archimède, proposé par l'Académie de Bordeaux (2002)


2. D’où la Formule d’Intégration de Simpson !

Soit f un polynôme de degré 2 défini sur un intervalle [ x_A ; x_C ].
Il est possible d’obtenir sa courbe comme courbe de Bézier de degré 2, à 3 points de contrôle A, B, C.
Une contrainte importante : les abscisses x_A, x_B, x_C doivent suivre une suite arithmétique.
Les autres contraintes : A et C sur la courbe ; B tel que (AB) et (BC) tangentes en A et C à la courbe.
Pour définir f , les coefficients a, b, c du polynôme peuvent être alors avantageusement remplacés par la donnée des 3 points uniques A, B, C qu’on trouve par identification des contraintes.
Par la formule aire du fuseau = 2/3 de celle du triangle, il devient possible de calculer dans la foulée l’aire sous la courbe, en n’utilisant que les coordonnées des points de contrôle :

Intégrale de f sur l’intervalle [ x_A ; x_C ] = Aire verte du fuseau + Aire bleue du trapèze ACDE
= 2/3 ABC + ACDE
= 2/3 (x_C – x_A) [ y_B – (y_A+y_C) / 2 ]  + (x_C – x_A) ( y_A + y_C) / 2
et, en simplifiant l’expression on trouve :
Intégrale de f sur l’intervalle [ x_A ; x_C ] = (x_C – x_A) (y_A+ y_B + y_C) / 3 .

L’intégrale de f sur l’intervalle [ x_A ; x_C ] vaut alors exactement (x_C – x_A)  y_G  ,
où G est le Centre de Gravité du Triangle ABC !

Si on remplace B par K le point de la courbe de f qui a la même abscisse :
K = M( ½ ) = barycentre de (A , ¼) (B, ½ ) (C , ¼) , avec   y_K = f(x_B) ,
et G est alors le Barycentre de Simpson de A, K , C , 
c’est à dire le barycentre de (A , 1) (K, 4) (C , 1).
On retrouve alors la formule d’intégration approchée de Simpson, exacte seulement pour les polynômes de degré au plus 3 :
L’intégrale de f sur l’intervalle [ x_A ; x_C ] vaut  (x_C – x_A) [ f(x_A) + 4 f(x_B) + f(x_C) ] / 6


3. Généralisation : formule d’aire sous la courbe d’un polynôme par les points de contrôle de sa courbe de Bézier.

La formule d’aire trouvée auparavant  en degré 2 par calcul élémentaire se généralise facilement au cas du polynôme f de degré n , qui sur tout intervalle [x_min ; x_max] admet aussi une représentation de Bézier unique à n +1 points de contrôle, dont les abscisses suivent une progression arithmétique :
L’intégrale de f sur l’intervalle [ x_min ; x_max ] vaut alors exactement (x_max – x_min)  y_G  ,
où G est l’isobarycentre des points de contrôle .
 
Autre façon moins lourde de le dire : l’ordonnée moyenne sur l’arc de courbe, la moyenne de f sur l’intervalle, est la moyenne des ordonnées des points de contrôle.
   
On peut le vérifier par un calcul rapide sur les exemples simples de représentations par Courbes de Bézier des monômes 1, x, x² , x³ :



Cela est simplement dû au fait que l’intégrale sur [0 ; 1] de tout Polynôme - Poids de Bernstein de même degré n est un nombre constant (l’inverse de n+1).


4. Généralisation : Formule du Volume sous la Surface définie par un polynôme à 2 variables par les points de contrôle de sa Surface de Bézier.

La formule d’aire trouvée auparavant  pour un polynôme en x de degré n sur un intervalle donné se généralise facilement au cas du polynôme f à 2 variables (x,y) de degré (n,m) , qui, sur tout rectangle où il est défini, admet aussi une représentation de Bézier unique dans l’Espace, à (n + 1)(m + 1) points de contrôle, dont les abscisses et ordonnées forment un réseau rectangulaire régulier plan :

L’intégrale double de f sur le rectangle coïncide avec le produit de l’aire du rectangle par la moyenne des altitudes des points de contrôle :



Autre façon moins lourde de le dire : l’altitude moyenne de la surface, la moyenne de f sur le rectangle, est la moyenne des altitudes des points de contrôle.




XI. Les Polynômes - Approximants de Bernstein et l'expression des Courbes et Surfaces de Bézier dans la Base fonctionnelle des Polynômes - Poids de Bernstein 


Attention : ne pas confondre :
Polynômes - Poids de Bernstein  et  Polynômes - Approximants de Bernstein !


Dans cette section, nous reprenons ici un peu plus précisément l'aspect paramétrique et analytique : 


En Théorie de l’Approximation des fonctions réelles f définies et continues sur un intervalle, que l’on prendra égal à [0 ; 1] sans perte de généralité, le Théorème de Weierstrass stipule qu’une telle fonction f est limite uniforme d’une suite de polynômes.

Vers 1912, le mathématicien russe Serge Bernstein produit un exemple explicite d’une telle suite, la Suite des Polynômes  - Approximants de Bernstein, notée  B _n ( f , x ) .
B _n ( f , x ) s’exprime sur la Base fonctionnelle de Bernstein de degré n, composée des  n+1  Polynômes - Poids de Bernstein de degré n :
B_n,k (x) = C_n^k  x ^k  ( 1 – x ) ^{n – k} 
La règle de formation du Triangle de Pascal : C_n^k = C_n-1^{k-1  +}  C_n-1^k
se traduit par la relation de récurrence : B_n,k ( x ) = x B_n-1,k-1 ( x ) + ( 1 - x ) B_n-1,k ( x )
équivalente à l'Algorithme pyramidal de De Casteljau. 
Les coordonnées de B _n ( f , x )  dans cette base sont les images y _k par f  des abscisses x _k = ^k/_n  (les n + 1 abscisses régulièrement réparties de 0 à 1).

Ainsi, sans le savoir (la modélisation de Bézier ne voit le jour qu'une cinquantaine d'années plus tard), Serge Bernstein a choisi pour approximant  de f  le polynôme de degré n  dont la courbe coïncide exactement avec la Courbe de Bézier de degré n, à n+1 points de contrôle (x_k ; y_k), tous sur la courbe de f, et dont les abscisses sont régulièrement réparties sur l’intervalle [0 ; 1].

Intuitivement, une suite de Courbes de Bézier construites sur des points de contrôle issus d’un échantillonnage représentatif de plus en plus serré de la courbe continue de f ne peut que converger in fine vers cette courbe ! 

C’est ce que confirme la théorie : la borne supérieure (pour x compris entre 0 et 1) de l’écart entre f(x) et son approximant  B _n ( f , x ) est une suite qui converge vers 0 (vitesse de convergence hélas très lente, de l’ordre de ¹/_n , ce qui limite fortement l’usage concret des suites de Bernstein en approximation polynomiale) .

Cependant les Polynômes - Approximants de Bernstein ont quelques propriétés intéressantes, qui gardent leur utilité en démonstrations qualitative.
Entre autres, celles déduites des formules de dérivation :
- Si f est croissante ( f ‘ > 0 ) , alors B _n ( f ) aussi.
- Si f est convexe ( f ’’ > 0 ), alors B _n ( f ) aussi, et pour x fixé, la suite B _n ( f , x ) décroît vers f(x).
- Si f est concave ( f ’’ < 0 ), alors B _n ( f ) aussi, et pour x fixé, la suite B _n ( f , x ) croît vers f(x).


Réciproquement :
Serge Bernstein avait tout mis en place sur le plan théorique pour amener les Courbes de Bézier. Voilà  comment il aurait pu déjà les introduire, 50 ans avant leur apparition :

A partir d'une suite donnée de n+1 points A_k de coordonnées (x_k ; y_k), on construit deux fonctions affines par morceaux : f ( t )  et g ( t ), définies ainsi sur l'intervalle de temps [0 ; 1] :
Pour k allant de 0 à n :
f ( ^k/_n ) = x_k
g ( ^k/_n ) = y_k 

Les Approximants de Bernstein de f et g vont alors définir les coordonnées du point courant M(t) de la Courbe de Bézier de degré n et de points de contrôle A_k :

x ( t ) = B _n ( f , t )
y ( t ) = B _n ( g , t ) 
On exprime les coordonnées de chacune de ces deux fonctions dans la Base de Bernstein :



En regroupant ( x ( t ) ; y ( t ) ) , on peut dire en quelque sorte que les Points de Contrôle A_k constituent les "coordonnées" de la Courbe de Bézier M ( t ) dans la Base de Bernstein.
Ainsi, du point de vue espace vectoriel de fonctions, passer de la formulation Bézier à la formulation Bspline locale équivalente revient à effectuer un changement de base vectorielle (d'où l'utilisation incontournable et massive dans la pratique du Calcul Matriciel pour l'exprimer !), dans la mesure où l'on assimile les Points de Contrôle aux coordonnées dans ces bases.

La propriété la plus importante des Approximants de Bernstein est celle qui permet de formuler les dérivées successives (vitesse M ' ( t ) ; accélération M '' ( t ) ; etc ...) de M ( t ) :

 
où D ^p est la Différence de Newton d'ordre p :  D¹ x _k = x _k+1 – x _k    et     D ^p = D ¹ ( D ^p – 1 ).

Il apparaît d'abord, à travers cette formule des coordonnées de M ^p ( t ) la dérivée p^ème  de M(t), que l'Hodographe d'ordre p (courbe du point courant ayant mêmes coordonnées que la vitesse pour p = 1, que l'accélération pour p = 2, etc ..., p allant de 1 à n–1) est aussi une Courbe de Bézier de degré n–p dont les n–p+1 points de contrôle (notés logiquement D ^p A_k) ne dépendent que des A_k , ceux de la courbe de départ.

Alors, on peut prouver que la dérivée p ^ème de M ( t ) en un point extrême A₀ (en t = 0) ou A_n (en t = 1) s'exprime uniquement à l'aide des p+1 points de contrôle les plus proches.
Ces formules de dérivation précisent ainsi les contraintes cinématiques de continuité C ⁿ – 1  des raccords dans la construction d'une Courbe Bspline de degré n à partir de Courbes de Bézier de même degré accolées les unes aux autres séquentiellement :

Soient 2 Bézier de degré n consécutives : [A₀A₁A_n] et [B₀B₁B_n], se raccordant en A_n = B₀ .
A l'aide des formules précédentes, dérivons p fois les coordonnées du point courant M(t) de [A₀A₁A_n] en t = 1, et idem pour [B₀B₁B_n] en t = 0.
La continuité cinématique C ⁿ – 1 au point de raccord peut s'exprimer alors ainsi sous forme condensée par le système d'équations suivant :         pour p = 0 à n – 1 :     D ^p A_n-p = D ^p B₀ .
La notation est allégée :  A signifie ici le vecteur de mêmes coordonnées que A .

Cela se traduit par les relations géométriques suivantes :
(si n > 0)               A_n = B₀                                                                    (positions égales)
(si n > 1)               A_n – A_n-1 = B₁ – B₀                                                   (vitesses égales)
(si n > 2)               A_n – 2 A_n-1 + A_n-2 = B₂ – 2 B₁ + B₀                           (accélérations égales)
(si n > 3)               A_n – 3 A_n-1 + 3 A_n-2 – A_n-3 = B₃ – 3 B₂ + 3 B₁ – B₀     etc ...

Autre Corollaire important de la formule de dérivation :
Deux Courbes de Bézier de degré n sont raccordables avec continuité C ⁿ – 1  si tous les paires de "sous-courbes" de Bézier de degré strictement inférieur p (p<n) , définies par les p+1 points de contrôle les plus proches, et situées de part et d'autre du point de contact, sont issues d'une même courbe polynomiale de degré p.


Par la suite, on définit une Surface de Bézier par l'intermédiaire de la Base de Bernstein à 2 variables (u ; v), construite par Produit Tensoriel de 2 Bases de Bernstein (l'une de variable u, l'autre de variable v). Les Points de Contrôle A _{i j} peuvent alors légitimement être considérés comme les "coordonnées" de la Surface de Bézier M ( u, v ) correspondante, exprimée dans cette Base - Produit. Cette construction par produit tensoriel est par ailleurs directement transposable aux Bsplines.

Bibliographie : Davis : Interpolation and Approximation  (Blaisdell, 1963)



XII. Construction analytique des Courbes Bsplines Uniformes par la Base Bspline associée :

Les Courbes Bsplines sont le résultat d'un généralisation géométrique de la notion de Base de Fonctions Bspline ( Basis Spline ), définie vers 1946 par le mathématicien roumano - américain Schoenberg. Mais la construction algorithmique qu'il en propose, instable numériquement, fait que l'outil Bspline tombe relativement dans l'oubli, jusqu'en 1972, quand Carl DeBoor et Cox, de manière indépendante, découvrent un algorithme pyramidal (analogue à l'Algorithme de De Casteljau pour les Bézier) nettement plus performant.
DeBoor, qui travaille alors pour la fondation scientifique du premier constructeur automobile américain, a appliqué la Base de fonctions Bsplines pour créer les Courbes Bsplines de même degré, exactement comme dans le paragraphe précédent ont été créées les Courbes de Bézier par la Base fonctionnelle de Bernstein.
Plus tard les liens géométriques entre les deux types de courbes ont été approfondis, en particulier par les travaux de Gerald Farin.
 
Le contexte historique, détaillé par Phil Davis, du Worcester Polytechnic Institute, Massachussets, en anglais (SIAM, 1996)

Définissons d'abord une Base Bspline Uniforme de degré n, à N+1 vecteurs ( = fonctions ici) de base  N_n,k ( t ) :
N _n,k ( t ) = N_n ( t - k + a_n )
Tous les vecteurs de la Base sont construits à partir d'un même modèle : la fonction N_n ( t ), ils sont tous déphasés d'une unité de temps si leurs indices k se suivent. Le paramètre a_n, ne dépendant que du degré n, n'a d'importance que pour régler le départ de la future Courbe Bspline définie de façon géométrique sur le temps t = 0.
(a_n a été pris égal à n dans la présentation géométrique des Bsplines faite auparavant)

Il se trouve que N_n ( t ) peut être définie très simplement comme la fonction densité de probabilité (symétrique) d'une somme de n+1 variables de Loi Uniforme sur [0 ; 1] (ou bien par n convolutions successives de N₀(t) la fonction indicatrice de [0 ; 1] , donc de Transformée de Laplace [ p^-1(1+ e ^-p)] ⁿ⁺¹) ;
une telle fonction N_n ( t ) a alors de part sa définition les propriétés suivantes :
- N_n ( t ) est nulle partout, sauf sur [0;n+1], où elle est positive ou nulle et au plus égale à 1.
- N_n ( t ) a une courbe représentative symétrique ; l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 1.
- N_n ( t ) est polynomiale de degré n par morceaux ; les morceaux sont les intervalles successifs d'amplitude 1.
- N_n ( t ) est dérivable continûment n-1 fois.

Dans la pratique, essentiellement l'Algorithme Pyramidal de Cox - DeBoor, qui construit par récurrence les fonctions N_n ( t ), est utilisé en C.A.O :
N_n ( t ) = (t/n) N_n-1 ( t ) + (1 - (t-1)/n) N_n-1 ( t - 1 )
(C'est seulement sur l'idée de cette formulation par récurrence très efficace et stable numériquement que les deux auteurs ont pu généraliser la construction aux Bsplines non uniformes.)

Ainsi construits, les N+1 vecteurs de la Base N _n,k ( t ) ont les propriétés suivantes :
- toute fonction combinaison linéaire de ces N+1 fonctions peut s'écrire avec seulement n+1 fonctions consécutives si on se restreint à l'un des intervalles d'amplitude 1.
- si cet intervalle d'amplitude 1 est suffisamment loin des extrémités, la somme de ces n+1 fonctions est toujours égale à la fonction constante valant 1 sur l'intervalle.

Enfin la Courbe Bspline proprement dite est obtenue par : M ( t ) = somme des N _n,k ( t ) P _k avec P ₀   , ..., P_N les N+1 points de contrôle de la Bspline.
Les deux propriétés précédentes de la Base des N _{n, k} ( t ) sont absolument déterminantes pour l'interprétation géométrique de la Courbe Bspline construite sur cette base fonctionnelle : la somme 1 des coefficients rend possible la construction par Barycentre pour chaque morceau de la Courbe Bspline ainsi définie.
Ainsi, pour t variant dans le premier intervalle, entre 0 et 1, M ( t ) est le barycentre des points de contrôle : P ₀ , ..., P_n-1, P_n , affectés des coefficients respectifs : N_n ( t+n ) , ... , N_n ( t+1 ) , N_n ( t ).
Initiation interactive (Applets JAVA) aux Splines, par Evgeny Demidov, en anglais (2001)
 
D'où l'explication de l'équivalence géométrique entre courbes de Bézier et B-spline Uniforme :
Les n+1 fonctions B-splines consécutives N _{n, k} ( t ), polynômes non nuls sur un intervalle d'amplitude 1,
constituent une base locale polynomiale, et peuvent être ramenés par une même translation du temps à l'intervalle [0,1].
On peut alors les exprimer localement comme une combinaison linéaire
des n+1 polynômes B _{n, k} ( t ) de la Base de Bernstein définie sur [0,1].
Important : ces coefficients ne dépendent pas du choix du "train" des n+1 B-splines consécutives,
N _{n, k} ( t ), par définition uniformes, et présentant donc la même configuration relative à un décalage près !
De plus, le fait que la somme des n+1 polynômes de chaque base soit toujours égale à 1
permet de traduire les relations algébriques issues du changement de base fonctionnelle
(qu'on peut exprimer facilement à l'aide d'une matrice de passage carrée)
en terme de relations barycentriques entre points de contrôle des courbes correspondantes :
il existe donc une façon unique de combiner n+1 points de contrôle consécutifs
d'une courbe B-spline Uniforme de degré n pour obtenir les n+1 points de contrôle
de la courbe de Bézier de même degré qui coïncide localement avec elle, et réciproquement. 
(Corollaire : la symétrie observée entre les vecteurs de chaque base se traduit par la symétrie de la matrice de passage, ce qui entraîne la symétrie des relations barycentriques reliant les points de contrôle des 2 types de courbe) 

 
Approche barycentrique unifiée par les Formes Polaires Multi-Affines Symétriques ( Blossoms )
des Courbes de Bézier et Courbes B-splines Non Uniformes, proposée en avril 2004 par l'Université de Columbia, New York, en anglais (mais très accessible, même pour les néophytes, par sa pédagogie et ses illustrations claires), au format pdf (200 ko environ) :

http://www1.cs.columbia.edu/cagd/classBlossoms.pdf
http://www1.cs.columbia.edu/cagd/classBlossoms2.pdf

Autres présentations :
 Courbes de Bézier, par Robert Ferréol et al (2000)
 Extension possible du sujet : Courbes de Bézier Rationnelles, par Robert Ferréol et al (2001)

Surfaces de Bézier :
 Extension possible du sujet : Surfaces de Bézier, par Robert Ferréol et al (2001)
Cours d'infographie de Christian Jacquemin LIMSI - CNRS Paris Sud (2001)
Cours de C.A.O. - D.A.O. de Ken Joy (en anglais) de l'Université de Californie - Davis (2000)

Autre application des Coordonnées Barycentriques à l'Infographie :
Représentation de l'Espace sur un écran graphique en Perspective Parallèle (2001)