Ce qui suit est l'exposé fait en novembre 2000 pendant les Journées de Formation en Mathématiques sur les Nouveaux programmes de Seconde, par Mr Patrick Lobry, professeur de Mathématiques au lycée Watteau de Valenciennes.

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I - Choix d'une définition

Extrait du document d'accompagnement (page 17 de la Brochure Accompagnement des programmes – Mathématiques – classe de seconde -cndp RESEAU) :

Il faut souligner ici l'effort important entrepris au collège pour différencier le résultat observé du résultat démontré et pour énoncer clairement le statut des divers énoncés : définition, résultat ou théorème admis sur conjecture, résultat ou théorème établi, etc ( cf. document d'accompagnement des programmes de 5^ème – 4^ème ). Il importe de garder cet esprit dans le travail conduit en seconde, en particulier dans ce paragraphe de géométrie. Ainsi, l'enseignant décidera, en fonction de ses élèves et du temps dont il dispose, du caractère admis ou démontré des trois cas d'isométrie des triangles. Cela supposera au préalable le choix par l'enseignant d'une définition des triangles isométriques ; 
celle qui s'inscrit le plus naturellement dans le fil des programmes de collège, où l'on a construit des images de figures géométriques par symétries axiale ou centrale, par translation ou par rotation, pourrait s'énoncer ainsi :

Une définition étant posée, l'objectif est d'atteindre rapidement les cas d'isométrie. Que ceux-ci soient admis ou démontrés, on n'oubliera pas que tout résultat doit être légitimé dans l'esprit des élèves pour qu'il s'inscrive naturellement dans le corpus antérieur de connaissances.

Si ABC et A'B'C' sont deux triangles isométriques, alors on a :

 

Les symétries orthogonales, les translations, et les rotations conservent les distances et les angles géométriques.

Soient ABC et A'B'C' deux triangles du plan tels que AB = A'B', AC = A'C',
et BC = B'C'.

Il s'agit de démontrer que le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par une symétrie orthogonale, une translation, une rotation, ou une succession de telles transformations.

• A= A' et B = B' et C = C'
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la translation de vecteur nul.
• A A' ou BB' ou CC'
  Supposons par exemple A A'

On commence à transformer le triangle ABC par une isométrie qui
transforme A en A'

Trois choix immédiats :

1- La translation de vecteur

2- La symétrie orthogonale d'axe (D) la médiatrice du segment [AA']

3- Une rotation dont le centre est situé sur la droite (D).

Envisageons les choix 1 et 2.
On note t la translation de vecteur  et S₁ la symétrie orthogonale d'axe (D).

• B₁ = B' et C₁ = C', c'est fini !
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la translation t ( ou la symétrie S₁ ).
• B₁B' ou C₁C'
  Supposons par exemple B' B_1.

On poursuit en transformant le triangle A'B₁C₁ par une isométrie qui fixe A' et qui transforme B₁ en B'.

Puis …..

On voit se dessiner deux démarches basées sur les résultats suivants :

• Les symétries orthogonales engendrent le groupe des isométries du plan.
• Soit A' un point du plan. Toute isométrie f se décompose de manière unique sous la forme u o t où u est une isométrie fixant A' et t une translation.

Démonstration – Première démarche.

On va démontrer que le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par une symétrie orthogonale ou par une composée de deux ou trois symétries orthogonales '

• A= A' et B = B' et C = C'
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la translation de vecteur nul ( ou par S_(AB) suivi de S_(AB) )
• A A' ou BB' ou CC'
  Supposons par exemple A A'

• B₁ = B' et C₁ = C' ; c'est fini !
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par S₁.

• B₁ B' ou C₁C'
  Supposons par exemple B₁B'

• C₂ = C' ; c'est fini !
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la succession des deux symétries orthogonales (S₁ suivi de S₂).

• C₂ C'

• On démontre que le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC
  par une symétrie orthogonale
  ou par une composée de deux ou trois symétries orthogonales
  

  ............

• "côté systématique". Elle permet d'uniformiser la procédure
• Elle privilégie la symétrie orthogonale connue depuis la classe de 6^ème . Elle peut se "visualiser" par pliages successifs : " on est sûr" qu'en effectuant au plus trois pliages successifs, "on va obtenir le triangle A'B'C' ".

Soit t la translation de vecteur .
On note B₁ = t (B) et C₁ = t (C).
Soit r la rotation de centre A' qui transforme B₁ en B'.
( r existe ; voir démarches ).

On note C₂ = r ( C₁)

• C₂ = C' ; c'est fini !
  Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la succession de la translation t et de la rotation r ( t suivi de r ).

C₂ C'
Soit S la symétrie orthogonale d'axe la droite (A'B').
On a S(C₂) = C'. En effet comme dans la première démarche, on démontre que la droite (A'B') est la médiatrice du segment [C'C₂].

Si deux triangles du plan ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ces deux triangles sont isométriques.

Soient ABC et A'B'C' deux triangles du plan tels que AB = A'B', AC = A'C', et 

Démontrons que les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.

Il suffit de démontrer que BC = B'C' . On applique ensuite le premier cas.

Pour démontrer que BC = B'C', on utilise le théorème de Pythagore si l'angle est droit ou "les" formules d'Al-Kashi si l'angle est aigu ou obtus (dans le cadre de ce document , j'ai supposé que les élèves ne connaissent pas les lignes trigonométriques d'un angle obtus).
On établira "ces" formules au préalable, par exemple dans un devoir maison ou dans une activité faite en classe (outils du collège réinvestis : le théorème de Pythagore, les produits remarquables, et la trigonométrie dans un triangle rectangle.).

La démonstration explicite est laissée au lecteur.

Si deux triangles du plan ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors ces deux triangles sont isométriques.

Distinguons deux cas :

• Les triangles ABC et A'B'C' sont rectangles.
  Pour démontrer que AB = A'B', on utilise des lignes trigonométriques dans les triangles rectangles ABC et A'B'C'.
  La démonstration explicite est laissée au lecteur.
• Les triangles ABC et A'B'C' ne sont pas rectangles.
  Pour démontrer que AB = A'B', on utilise les égalités
  si les angles et sont aigus ou les égalités
  si l'angle est obtus, ou les égalités si l'angle est obtus.

On établira ces égalités au préalable, par exemple dans un devoir maison ou dans une activité faite en classe (outil du collège réinvesti : trigonométrie dans un triangle rectangle.).

La démonstration explicite est laissée au lecteur.

Soit ABC un triangle quelconque du plan.

1- Si l'angle est aigu alors BC² = AB² +AC² – 2 AB AC cos

2- Si l'angle est obtus alors BC² = AB² +AC² + 2 AB AC cos ( 180° – ) 

1- Supposons l'angle aigu

Le triangle ABC possède au moins deux angles aigus

Supposons par exemple que l'angle soit aigu.
Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Comme les angles et  sont aigus, le point H est un point du segment [AB].

2- Supposons l'angle obtus.

Les angles et sont donc aigus.
Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Comme l'angle est aigu et l'angle est obtus, le point A est un point du
segment [BH].

Soit ABC un triangle du plan.

1 - Le triangle ABC est acutangle.

2 - Le triangle ABC est obtusangle.

Par exemple, supposons l'angle obtus. On a alors :

La démonstration est laissée au lecteur.

V – Scénario pédagogique

• Devoir maison 1 : construction d'images de triangles par une isométrie, par une composée d'isométries ; sensibilisation à la formule BC² = AB² + AC² – 2 AB AC cos

I – Cours : définition et conditions nécessaires

II – Recherche de conditions suffisantes.

1 – Les élèves construisent chez eux, sur une feuille de dessin deux triangles ABC et A'B'C' tels que AB = A'B', AC = A'C', et BC = B'C'.

2 – Travaux dirigés

• A l'issue d'un questionnement adapté, en utilisant un logiciel de géométrie dynamique, les élèves arrivent à la conjecture suivante :
  le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par une symétrie orthogonale, ou une succession de deux ou trois symétries orthogonales.
• les élèves vérifient cette conjecture sur les figures construites au 1.

III – Cours : premier cas d'isométrie.
Admis ou démontré selon la classe.

• Devoir maison 2 : formule BC² = AB² + AC² – 2 AB AC cos avec angle aigu d'un triangle ABC et " relation des sinus" dans un triangle acutangle.