Résumé de Bibliographie, par Vincent Lesage, professeur à l'ESAAT de Roubaix (octobre 2001, prolongé 2002).

On peut être amené en Géométrie du Plan à rencontrer fortuitement un type de Pavage du Plan pas du tout évident :
il n'est globalement invariant par aucune translation du Plan !

Il existe ainsi dans le Plan des Pavages Non-périodiques, mais ne faisant intervenir que des éléments polygonaux identiques (appelés "tommettes" par les carreleurs) de 2 sortes (au moins) : les Pavages Quasi-périodiques, non invariants par translation, mais où l'on observe cependant des répétitions à toute échelle.

Ce type de pavage, imaginé en 1974 par le mathématicien - physicien anglais Roger Penrose, et observé plus récemment (vers 1990) en laboratoire par des cristallographes (quasicristaux de Daniel Schechtmann),  est mathématiquement reproductible par projection orthogonale (partielle) d'un pavage périodique d'un Espace de dimension supérieure à 3 sur un plan, de dimension 2.
Bien que par cette projection, la périodicité du pavage originel de dimension supérieure soit dans le cas général entièrement perdue, la structure ainsi obtenue hérite quand même directement d'une certaine régularité statistique dans son apparence.

L'idée simple derrière cette construction est plus compréhensible, car mieux visualisable, quand on se restreint à un Espace de dimension 2, qu'on projette sur une Droite, de dimension 1 :
Dans un pavage régulier de carrés = quadrillage du Plan, quand on sélectionne une bande oblique, suffisamment fine, on ne retient du quadrillage que la forme d'un escalier continu, qui est périodique (et donc sa projection orthogonale sur une droite quelconque aussi) si et seulement si le coefficient directeur de la direction de la bande est une fraction rationnelle (condition de commensurabilité). Dans le cas contraire, cet escalier et son projeté en dimension 1 sont apériodiques.

On généralise alors facilement cette idée d'Escalier à un Espace de dimension 3, projeté sur un plan de dimension 2 :
- la bande est remplacée par une tranche
(ensemble de tous les points de l'Espace situés à moins d'une distance convenue d'un plan);
- le Plan de Projection coïncide avec le plan médian définissant la tranche ;
- ce plan doit tout juste contenir tous les sommets des cubes du quadrillage centrés sur lui.
Prendre une tranche d'espace suffisamment fine évite le chevauchement éventuel d'arêtes. La prendre trop fine, par contre, laisse des lacunes dans la représentation plane.
Le résultat, qui évoque un peu une représentation plane du site naturel irlandais bien connu, "la Chaussée des Géants", ressemble alors à ceci :

Programme de construction correspondant, en Qbasic, à adapter à la calculatrice 

On remarque ici que la projection crée 3 directions privilégiées ; cela est logique puisque le quadrillage ainsi projeté est celui d'un Espace de dimension 3.
En généralisant cette observation, la génération par cette méthode d'un pavage apériodique définissant n directions principales exige le recours à un Espace de départ de dimension n .

Plus de détails sur la page que le Geometry Center y consacre (en anglais)
Ce site, en plus de précisions théoriques plus amples, donne surtout accès au logiciel interactif QuasiTiler, développé en 1994 par l'Université du Minnesota (USA), permettant de visualiser concrètement en ligne des pavages du Plan quasi-périodiques, construits de cette façon, en faisant varier leurs paramètres de construction.

A partir de la dimension 4, la représentation mentale est certes plus difficile, mais la méthode qui équivaut à construire un Escalier plan continu, reposant sur un quadrillage régulier de son Espace, et qu'on va ensuite projeter sur un plan, reste toujours valable et généralisable.



Dans l'exemple illustré ci-dessus : une "tranche" suffisamment fine d'un réseau d'Hypercubes ( = pavage régulier "cubique" de l'Espace de dimension 4 ), a été projetée orthogonalement sur un plan (dim. 2) et représentée à l'aide d'un algorithme de marche aléatoire parcourant les arêtes, implémentable sur calculatrice programmable :
Programme de construction, écrit en QBasic, à adapter à la calculatrice

Le plus célèbre exemple de pavage quasi-périodique est le Pavage de Penrose, fait à partir d'un pavage régulier d'Espace de dimension 5, où l'on retrouve le Nombre d'Or :



Programme de construction, écrit en QBasic, à adapter à la calculatrice

Pour obtenir un tel pavage, Roger Penrose donne les règles précises de la construction alternative plus simple "à la main", par un algorithme récursif, à partir des 2 tommettes de base utilisées : 
- Soit les Triangles d'Or : aigus et obtus, isocèles de côtés dans le rapport du Nb d'Or
- Soit les Losanges d'Or correspondants (Triangles d'Or juxtaposés comme sur la figure)
- Soit les Flèches et Cerf-volants (Triangles d'Or de même nature, juxtaposés autrement).

Les règles élémentaires de la construction du Pavage Apériodique de Penrose, pour la Terminale L (option facultative), extrait du site du GEPS, par l'Académie de Bordeaux (2002)

L'algorithme récursif de Décomposition en Triangles d'Or est donné par Pierre Crespin, sur le site de l'IREM de Nice :
Pavages de Penrose et Nombre d'Or, par l'IREM de Nice (1995)

En voici une adaptation en langage Logo :


Programme de décomposition en Triangles de Penrose en langage Logo (2002)
Pour le lancer, copier le texte (le passer en surbrillance puis Crtl C), appeler le site du Logo interactif de Pascal Leowenguth du CNAM de Metz, coller le texte dans la fenêtre de droite (Crtl V) et enfin :  Prendre Vitesse ="Rapide". Exécuter.
Tester le résultat par le Logo interactif, provenant du site des Algorithmes du CNAM de Metz, par Pascal Loewenguth (2001)
On pourra à volonté modifier les paramètres de la dernière ligne, pour observer les différentes étapes de la construction. 
On pourra aussi y changer "obtus" par "aigu", pour retrouver par exemple l"illustration ci-dessus.
Vous pouvez aussi, en remaniant très peu et judicieusement la structure de ce programme, retrouver la construction récursive des deux autres types de décomposition mentionnées : Losanges d'Or et "Kites and Darts" (en inhibant par exemple le tracé de certains traits au moyen du jeu d'instructions Logo "Lève Crayon" et "Baisse Crayon").


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