Ce qui suit est le résumé de la recherche bibliographique sur Internet faite à l'occasion de la préparation d'un cours de BTS en Architecture Intérieure, par Vincent Lesage, professeur à l'ESAAT de Roubaix (octobre 2001).
Dès la Seconde on peut étudier les Pavages, Frises ou Rosaces comme application des Isométries du Plan, si toutefois les élèves ont eu au préalable le temps d'acquérir une pratique sereine de celles-ci (construction des images et reconnaissance des isométries usuelles laissant des figures globalement invariantes).
Seule la symétrie glissée, (non au programme) résultat d'une composition d'une réflexion et d'une translation sur l'axe, peut alors présenter à leur niveau des difficultés.


Retour au cadre théorique général des Isométries, à l'usage du professeur

En ce domaine, les 3 références proposées sont hélas en langue anglaise ; cela n'est en réalité pas du tout gênant dans la mesure où ici le texte n'est pas l'essentiel :




I. Découverte interactive
Découvrez d'abord concrètement les Pavages du Plan et autres en les créant vous-même avec Kali, la "Machine à Paver" :

 Construction interactive par le logiciel Kali, University of Minnesota (1996)

C'est en anglais, mais le mode d'emploi est très simple :
- Sélectionner parmi les rubriques proposées :

- Choisir ensuite à gauche le nom (en notation de Thurston - Conway) du groupe d'isométries à utiliser
- Choisir la couleur du trait de la ligne brisée
- Cliquer une fois pour tracer un segment et continuer la ligne brisée
- Cliquer 2 fois en un point de la feuille pour finir la ligne brisée.


II. Les Pavages du Plan :

En 1891, le cristallographe russe Fedorov a mis en évidence les 17 types de Pavages que l'on peut rencontrer dans le plan :
Les 17 types de pavages du plan, par X.Lee (1998)
Cet article, rédigé en anglais par un mathématicien américain, Xah Lee, expose directement sans les démontrer des résultats de Géométrie Algébrique plus généraux sur les Groupes Cristallographiques (non anglophones : aller directement à la fin de son exposé) :
- la notation dite cristallographique, ancienne, qui vaut norme aujourd'hui ;
- le classement de Thurston - Conway, en fait plus simple et mathématiquement plus rigoureux car issu de développements récents en Topologie Algébrique ;
- un tableau synoptique très clair en fin d'exposé, où chaque type de Pavage est illustré avec Trame, Canevas et le Motif de Base.

Méthodologie de l'étude d'un Pavage : les 3 étapes de la dissection :

1. Trame ( vocabulaire courant )
ou Maille Primitive ( vocabulaire de la Cristallographie )
ou Domaine Fondamental ( vocabulaire mathématique ) :
C'est le plus petit parallélogramme non aplati construit à partir de vecteurs de 2 translations laissant le pavage globalement invariant.
Prendre pour sommets du parallélogramme 4 points proches jouant exactement le même rôle dans le pavage (4 centres de rotation d'ordre le plus élevé si possible !), de telle façon que l'aire soit minimale et la forme la plus rectangulaire possible. 
La Trame ou la Maille matérialise le Groupe des Translations du Plan laissant ce pavage globalement invariant.

2. Canevas :
C'est la représentation symbolique de toutes les isométries (autres que translations) observées dans l'ensemble du pavage.
Pour plus de clarté, on peut ne l'indiquer que sur une maille primitive.
Conventions adoptées :
- double trait ===== pour l'axe d'une réflexion
- tirets - - - - - - pour l'axe d'une symétrie glissée
- divers symboles ponctuels pour représenter les centres de rotations :
      Losange pour rotation d'ordre 2
      Triangle pour rotation d'ordre 3
      Carré pour rotation d'ordre 4
      Hexagone pour rotation d'ordre 6
      (On admettra qu'un pavage n'est pas invariant par rotation d'ordre 5 ou supérieur à 6)
Le Canevas, complété par les translations, matérialise le Groupe des Isométries du Plan laissant ce pavage globalement invariant.

3. Motif de Base :
C'est la plus petite portion de la maille nécessaire pour sa reconstitution à l'aide de certaines isométries (autres que translations) parmi toutes celles laissant le pavage invariant.
Le Motif de Base matérialise les Générateurs du Groupe des Isométries du Plan laissant ce pavage globalement invariant.

Bibliographie sur les Pavages, compilée par l'Académie de Bordeaux (juin 2001)

Un site américain, le Geometry Center, présente les 17 types de Pavages, dans leur notation cristallographique, et explique par une animation la reconstruction de chaque type de Pavage à partir de son Motif de Base (Cliquer sur le motif pour la déclencher).
Les 17 types de pavages du plan, par le Geometry Center (1998)

Un exemple très particulier de pavage :
Obtention par découpage élémentaire d'un pavage invariant par Symétrie Centrale :
Le truc de l'enveloppe, par le site Kangourou (Maths et Malices) , au format pdf (2000)


Une famille d'exemples très particuliers de pavages : 
Pavages très connus pour leurs applications Architecturales depuis l'Antiquité : les pavages des carreleurs, qui ne font intervenir que des éléments Polygones Réguliers :
Les pavages Réguliers et Semi-Réguliers (Université de Neuchâtel en Suisse, 2002) 
Les différentes façons de paver par des Polygones Réguliers uniquement (Université de Neuchâtel en Suisse, 2002)

Remarque :
La notion de Pavage Régulier et Semi-Régulier dans le Plan est à ici plutôt à rapprocher, dans sa définition, de la notion de Polyèdre Platonicien et Archimédien dans l'Espace de dimension 3 (tout Polyèdre circonscrit à une Sphère peut être considéré comme un Pavage de cette Sphère) :
Les Polyèdres : Solides de Platon, d'Archimède, etc ..., découverte interactive proposée par par l'Académie de Noumea (2001)

Résumé bibliographique sur les Pavages en général, par Mathworld / Wolfram Research, en anglais (2002)


D'autres façons de paver le Plan : 

Pavages par des éléments très simples : les n - Polyminos (Polygones résultant de l'assemblage connexe de n carrés d'une grille régulière) : leurs assemblages constituent la base de nombreux jeux mathématiques de casse-tête ! Exemple : peut-on paver entièrement un rectangle avec un Polymino de forme imposée au départ ?

Les Autopavages :
Un Autopavage est le pavage d'une domaine compact du plan, de frontière déterminée (même fractale ! Voir Courbe du Dragon de Heighway), par des copies réduites isométriques (autopavages réguliers) , sinon semblables (autopavages non réguliers) entre elles.

Des pavages du Plan beaucoup moins évidents :
Il existe aussi dans le Plan des Pavages Non-périodiques, mais ne faisant intervenir que des éléments polygonaux identiques (appelés "tommettes" par les carreleurs) de 2 sortes (au moins) : les Pavages Quasi-périodiques, non invariants par translation, mais où l'on observe cependant des répétitions à toute échelle.
On peut les expliquer à partir de Pavages Périodiques de dimension supérieure !
Aperçu sur les Pavages Quasi - Périodiques du Plan

Pavages Hyperboliques :
On peut aussi définir des Pavages dans le Demi - Plan de Poincaré (Demi-plan complexe supérieur y= Re(z)>0) ou dans le Disque de Poincaré (Intérieur du Cercle Trigonométrique : | z | < 1), à l'aide des Nombres Complexes et des transformations homographiques complexes (cousines des inversions du plan), qui jouent ici le rôle des isométries (des cercles ou des droites jouent alors le rôle des axes de symétrie).
Le demi-plan ou le disque de Poincaré sont des modèles plans de la Géométrie Hyperbolique de Lobatchevsky - Bolyaï, où le 5ème Axiome (des Parallèles) d'Euclide, associé à la Géométrie usuelle, n'est plus valable.
Ce type de pavage a été largement popularisé par l'artiste hollandais Maurits Escher. 



Figure : Pavage de Cercles d'Apollonius

 

III. Les Frises :

Les 7 Groupes de Frises (en anglais) proposés par la Memorial University du Canada (1996)

Le contraire d'un long exposé théorique : 7 figures simples illustrent très concrètement les 7 types de Frises que l'on peut rencontrer dans la Nature.

Exposé théorique :
Frises et Pavages, conférence donnée par C.P. Bruter aux Journées Pédagogiques ARPAM - IUFM - IREM - LAMATH de Valenciennes, au format Word (juin 2002)

Résumé :

Exercice : 
Une frise peut être considérée comme un pavage réduit à une seule dimension.
En reprenant la méthodologie d'étude des pavages, définir alors pour chaque frise :
son canevas d'isométries, son domaine fondamental, et son motif de base.


IV. Les Rosaces :

1. Pour construire une Rosace Asymétrique d'ordre n :
Partir d'un disque du Plan, centré en O,
le découper en n secteurs angulaires d'angle 1/n tour,
dessiner un motif dans un des secteurs,
le recopier par rotations successives de centre O, de 1/n tour sur les n-1 autres secteurs.
(Représenté ici : n = 4)


L'ensemble des n rotations qui laissent la rosace globalement invariante s'appelle "Groupe Cyclique d'Ordre n"
Cette appellation vient du fait qu'une rotation d'angle 1/n tour va, par compositions successives avec elle-même, redonner toutes les autres (y compris l'Identité du Plan = rotation d'angle nul).
On dit alors qu'elle engendre le Groupe Cyclique.

2. Pour construire une Rosace Totalement Symétrique d'ordre n :
Partir d'un Disque du Plan, centré en O,
le découper en 2n secteurs angulaires d'angle 1/2n tour,
dessiner un motif dans un de ces secteurs,
le recopier par réflexion d'axe la frontière avec un secteur voisin
recopier le résultat de cette opération par rotations successives de centre O, de 1/n tour de façon à recouvrir l'ensemble des autres secteurs.
Cela peut être fait concrètement par pliage et piquage d'un motif sur feuille blanche.
(Représenté ici : n = 4)


L'ensemble des n rotations et des n réflexions qui laissent la Rosace globalement invariante s'appelle "Groupe Diédral" et son ordre (le nombre de ses éléments) vaut alors 2n.
Voulant dire littéralement "à deux faces", ce Groupe est la réunion d'un groupe cyclique d'ordre n (les rotations) et de l'ensemble (qui n'est pas un groupe !) des n réflexions, chacune produit de la composition d'une de ces n rotations par la réflexion initiale.
Ainsi ce groupe peut être engendré par deux éléments : cette réflexion et la rotation initiale. Il coïncide avec le groupe des isométries laissant globalement invariant un Polygone Régulier à n côtés.
(Exemple : Carré pour  n = 4)

Pour en savoir plus sur le contexte général des Transformations Affines du Plan :

Compositions et Décompositions de Transformations au lycée avec Cabri-géomètre, proposé par l'Académie de Nantes (1998)

Transformations au lycée avec Cabri-géomètre, proposé par l'Académie de Nancy-Metz